Dê exemplo de um anel sem unidade cujo quociente por ideal tem unidade.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um anel sem unidade cujo quociente por um ideal seja um anel com unidade. O conteúdo é teoria de anéis e quocientes: precisamos escolher um anel R sem elemento neutro multiplicativo, um ideal I de R, e mostrar que R/I possui um elemento identidade para a multiplicação.

Passo 2

Como exemplo, tomemos
R = 2Z,
ou seja, todos os inteiros pares com as operações usuais. Em R não existe 1 porque não há rin2Z que satisfaça rcdot x = x para todo xin2Z. Agora definimos o ideal
I = 6Zsubseteq 2Z

Passo 3

O quociente R/I é formado pelas classes
R/I = ,0+6Z,,2+6Z,,4+6Z
Nesse quociente, as operações são
(a+6Z) + (b+6Z) = (a+b) + 6Z,
(a+6Z) cdot (b+6Z) = (a b) + 6Z

Passo 4

Procuramos uma classe [e] em R/I tal que
[e]cdot[x] = [x]e[x]cdot[e] = [x]
para todo [x]in R/I. Note que, para [e]=4+6Z, temos
4cdot2 = 8 equiv 2 pmod 6, 4cdot4 = 16 equiv 4 pmod 6, 4cdot0 = 0 pmod 6
Ou seja,
[4]cdot[2] = [2], [4]cdot[4] = [4], [4]cdot[0] = [0],
e de modo análogo à direita. Assim [4]=4+6Z é o elemento neutro multiplicativo de R/I.

Resposta

Um exemplo é
R = 2Z, I = 6Z
Então R não tem unidade, mas
R/I cong 0,2,4 cong Z/3Z
tem unidade dada pela classe 4 + 6Z.

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