Dê exemplo de um anel sem unidade cujo quociente por ideal tem unidade.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um anel sem unidade cujo quociente por um ideal seja um anel com unidade. O conteúdo é teoria de anéis e quocientes: precisamos escolher um anel
sem elemento neutro multiplicativo, um ideal
de
, e mostrar que
possui um elemento identidade para a multiplicação.
Passo 2
Como exemplo, tomemos
ou seja, todos os inteiros pares com as operações usuais. Em
não existe
porque não há
que satisfaça
para todo
. Agora definimos o ideal
Passo 3
O quociente
é formado pelas classes
Nesse quociente, as operações são
Passo 4
Procuramos uma classe
em
tal que
para todo
. Note que, para
, temos
Ou seja,
e de modo análogo à direita. Assim
é o elemento neutro multiplicativo de
.
Resposta
Um exemplo é
Então
não tem unidade, mas
tem unidade dada pela classe
.