Seja A anel comutativo. Se I for apenas subanel, prove que o produto em A / I não está bem definido.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é um anel comutativo e Isubseteq A é apenas subanel (ou seja, não necessariamente ideal), então a operação
[a]cdot[b]=[,ab,]
no conjunto de classes A/I não é bem definida. O conteúdo envolve o conceito de quociente de anel e a condição de ideal para garantir definição consistente das operações.

Passo 2

Definimos em A a relação de equivalência
asim bLong<=ftrightarrow a-bin I
As classes são [a]=,bin A : b-ain I. Para dar estrutura de anel em A/I costumamos usar
[a]+[b]=[,a+b,], [a]cdot[b]=[,ab,]
Para que isso seja bem definido, devemos ter: se asim a' e bsim b', então a+bsim a'+b' e absim a'b'.

Passo 3

– Verificação da soma:
Se a-a'=xin I e b-b'=yin I, então
(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')=x+yin I,
pois I é subanel (fechado em soma). Logo a soma está bem definida.
– Verificação do produto:
Para que [a]cdot[b] não dependa dos representantes precisamos que, sempre que
a-a'=xin I, b-b'=yin I,
tenhamos
ab - a'b' ;=; ab - a'b + a'b - a'b' =; (a-a'),b ;+; a',(b-b') ;in I
Como a'in A e bin A, isso exige que qualquer xin I multiplicado por qualquer elemento de A continue em I. Esta é exatamente a condição de que I seja ideal.

Passo 4

Como I não é ideal, existe rin A e xin I tais que r,xnotin I. Note que
0sim x Longrightarrow [0]=[x]
Mas
[r]cdot[0]=[,rcdot 0,]=[0],
enquanto
[r]cdot[x]=[,rcdot x,]neq[0]
pela escolha de r e x. Assim obtenho dois pares de representantes equivalentes em um fator que dão produtos em classes diferentes, o que mostra que o produto não está bem definido.

Resposta

O produto em A/I falha em ser bem definido sempre que I não for ideal, pois não se tem garantia de que r,xin I para rin A e xin I.

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