Seja
anel comutativo. Se
for apenas subanel, prove que o produto em
não está bem definido.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um anel comutativo e
é apenas subanel (ou seja, não necessariamente ideal), então a operação
no conjunto de classes
não é bem definida. O conteúdo envolve o conceito de quociente de anel e a condição de ideal para garantir definição consistente das operações.
Passo 2
Definimos em
a relação de equivalência
As classes são
. Para dar estrutura de anel em
costumamos usar
Para que isso seja bem definido, devemos ter: se
e
, então
e
.
Passo 3
– Verificação da soma:
Se e
, então
Se
pois
é subanel (fechado em soma). Logo a soma está bem definida.
– Verificação do produto:
Para que não dependa dos representantes precisamos que, sempre que
Para que
tenhamos
Como
e
, isso exige que qualquer
multiplicado por qualquer elemento de
continue em
. Esta é exatamente a condição de que
seja ideal.
Passo 4
Como
não é ideal, existe
e
tais que
. Note que
Mas
enquanto
pela escolha de
e
. Assim obtenho dois pares de representantes equivalentes em um fator que dão produtos em classes diferentes, o que mostra que o produto não está bem definido.
Resposta
O produto em
falha em ser bem definido sempre que
não for ideal, pois não se tem garantia de que
para
e
.