[1] (2,0 pontos)Determine o comprimento de arco da hélice circular dada pela parametrização r(t)= (a \cos (t), a \operatorname{sen}(t), b t) para o intervalo t \in[0,2 \pi], onde a e b são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado fornece a curva parametrizada
r(t)=\bigl(a\cos(t),\;a\sin(t),\;b t\bigr)
no intervalo t\in[0,2\pi], com a>0 e b>0 constantes.
A pergunta é: determinar o comprimento de arco dessa hélice no intervalo dado.
Passo 2
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): se uma curva é dada por uma parametrização r(t) diferenciável em [t_1,t_2], o comprimento de arco L entre t_1 e t_2 é
L=\int_{t_1}^{t_2}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui \bigl\|r'(t)\bigr\| é a norma euclidiana da derivada vetorial r'(t), isto é, se r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
Explicação curta e intuitiva: aproximamos a curva por muitos pequenos segmentos de reta; cada segmento tem comprimento aproximado \|r'(t)\|\Delta t; somando e passando ao limite obtemos a integral acima.
Passo 3
Calculamos a derivada componente a componente. Usando as regras básicas de derivação:
\dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),
\dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t),
\dfrac{d}{dt}(b t)=b (porque b é constante).
Portanto
r'(t)=\bigl(-a\sin(t),\;a\cos(t),\;b\bigr).
Passo 4
Agora calculamos a norma ao quadrado, somando os quadrados das componentes:
Interpretação geométrica rápida para fixar a ideia (opcional, mas útil): num volta completa (t de 0 a 2\pi) a projeção horizontal percorre uma circunferência de comprimento 2\pi a e a hélice sobe verticalmente uma altura 2\pi b. Pela ideia de Pitágoras aplicada ao deslocamento total por volta, o comprimento por volta é