[1] (2,0 pontos)Determine o comprimento de arco da hélice circular dada pela parametrização r(t)= (a \cos (t), a \operatorname{sen}(t), b t) para o intervalo t \in[0,2 \pi], onde a e b são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada
r(t)=\bigl(a\cos(t),\;a\sin(t),\;b t\bigr)
no intervalo t\in[0,2\pi], com a>0 e b>0 constantes.
A pergunta é: determinar o comprimento de arco dessa hélice no intervalo dado.

Passo 2

Lembrete prático (fórmula que vamos usar): se uma curva é dada por uma parametrização r(t) diferenciável em [t_1,t_2], o comprimento de arco L entre t_1 e t_2 é
L=\int_{t_1}^{t_2}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.
Aqui \bigl\|r'(t)\bigr\| é a norma euclidiana da derivada vetorial r'(t), isto é, se r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Explicação curta e intuitiva: aproximamos a curva por muitos pequenos segmentos de reta; cada segmento tem comprimento aproximado \|r'(t)\|\Delta t; somando e passando ao limite obtemos a integral acima.

Passo 3

Calculamos a derivada componente a componente. Usando as regras básicas de derivação:
  • \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),
  • \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t),
  • \dfrac{d}{dt}(b t)=b (porque b é constante).
Portanto
r'(t)=\bigl(-a\sin(t),\;a\cos(t),\;b\bigr).

Passo 4

Agora calculamos a norma ao quadrado, somando os quadrados das componentes:
\bigl\|r'(t)\bigr\|^{2}=(-a\sin(t))^{2}+(a\cos(t))^{2}+b^{2} =a^{2}\sin^{2}(t)+a^{2}\cos^{2}(t)+b^{2}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)=1. Assim
\bigl\|r'(t)\bigr\|^{2}=a^{2}\bigl(\sin^{2}(t)+\cos^{2}(t)\bigr)+b^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 5

Tomando raiz quadrada obtemos a norma (note que a^{2}+b^{2}>0 e a raiz é constante em t):
\bigl\|r'(t)\bigr\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Ou seja, a velocidade da parametrização é constante ao longo da hélice — isso simplifica muito a integral do comprimento.

Passo 6

Aplicando a fórmula do comprimento de arco em [0,2\pi]:
L=\int_{0}^{2\pi}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\;dt.
Como \sqrt{a^{2}+b^{2}} é constante, a integral é simples:
L=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\int_{0}^{2\pi}dt=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,(2\pi-0)=2\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida para fixar a ideia (opcional, mas útil): num volta completa ( t de 0 a 2\pi) a projeção horizontal percorre uma circunferência de comprimento 2\pi a e a hélice sobe verticalmente uma altura 2\pi b. Pela ideia de Pitágoras aplicada ao deslocamento total por volta, o comprimento por volta é
\sqrt{(2\pi a)^{2}+(2\pi b)^{2}}=2\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}},
coincidindo com o cálculo por integral.

Resposta

2\pi\sqrt{a^{2}+b^{2}}

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