\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\left(\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}\right)
O que se pede: simplificar essa expressão algébrica o máximo possível.
Informações relevantes fornecidas: as variáveis aparecem em denominadores, portanto deve-se assumir que x\neq0 e y\neq0 para que a expressão faça sentido.

Passo 2

Vamos simplificar a fração que está dentro do primeiro parêntese usando as leis dos expoentes. Lembrete rápido das regras que usarei:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},\qquad (a^{m})^{n}=a^{mn},\qquad a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}.
Aplicando a regra de divisão de potências ao separar x e y na fração:
\frac{x y}{x^{-1} y^{3}}=\frac{x^{1}y^{1}}{x^{-1}y^{3}}=x^{\,1-(-1)}\,y^{\,1-3}=x^{2}y^{-2}.

Passo 3

Agora elevamos o resultado ao quadrado, usando (ab)^{n}=a^{n}b^{n} e (a^{m})^{n}=a^{mn}:
\left(x^{2}y^{-2}\right)^{2}=x^{2\cdot2}y^{-2\cdot2}=x^{4}y^{-4}.

Passo 4

Passamos para o segundo parêntese:
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}.
Uma forma prática de simplificar uma diferença de frações é fatorar o fator comum. Note que um fator comum é \dfrac{y}{x^{4}}, porque
\frac{y}{x^{3}}=\frac{y}{x^{4}}\cdot x \qquad\text{e}\qquad \frac{y^{2}}{x^{4}}=\frac{y}{x^{4}}\cdot y.
Portanto, fatorando:
\frac{y}{x^{3}}-\frac{y^{2}}{x^{4}}=\frac{y}{x^{4}}(x-y).

Passo 5

Multiplicamos o resultado do Passo 3 pelo do Passo 4:
x^{4}y^{-4}\cdot\frac{y}{x^{4}}(x-y).
Agora simplificamos fatores iguais e usamos as regras de potências:
  • x^{4} no numerador cancela com x^{4} do denominador;
  • y^{-4}\cdot y = y^{-4+1}=y^{-3}.
    Assim obtemos
y^{-3}(x-y).
Escrever de forma comumente usada em frações:
\frac{x-y}{y^{3}}.

Passo 6

Verificação numérica rápida (para aumentar a confiança): escolha x=2, y=1 (válidos pois não anulam denominadores).
  • Avaliando a expressão original numericamente dá (fazendo as contas separadas) o mesmo resultado que \dfrac{x-y}{y^{3}}=\dfrac{2-1}{1^{3}}=1. Isso confirma que a forma final é consistente.

Resposta

\dfrac{x-y}{y^{3}}

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