[1] (2,0 pontos) Determine o lim (x, y) (0,0) x^2 sin (x y)x^2+y^2, se existir, ou mostre que o limite não existe:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite passo a passo. A questão pede para encontrarmos o limite de x^2 sin (x y)x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função f(x, y) = x^2 sin (x y)x^2+y^2. Nosso objetivo é descobrir o comportamento dessa função à medida que (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, expressamos x e y em termos de r e theta, onde:
x = r cos theta e y = r sin theta
Quando (x, y) to (0,0), isso equivale a r to 0.

Passo 4

Vamos substituir x e y na função f(x, y):
f(r, theta) = (r cos theta)^2 sin(r cos theta cdot r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Simplificando o denominador:
(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Então, a função fica:
f(r, theta) = r^2 cos^2 theta cdot sin(r^2 cos theta sin theta)r^2 = cos^2 theta cdot sin(r^2 cos theta sin theta)

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de sin(r^2 cos theta sin theta) quando r to 0. Sabemos que sin(z) approx z para z próximo de 0. Portanto:
sin(r^2 cos theta sin theta) approx r^2 cos theta sin theta
Substituindo de volta na função:
f(r, theta) approx cos^2 theta cdot (r^2 cos theta sin theta) = r^2 cos^3 theta sin theta

Passo 6

Observamos que r^2 cos^3 theta sin theta tende a 0 quando r to 0, independentemente dos valores de theta. Isso significa que:
limr to 0 f(r, theta) = 0
Como alcançamos o mesmo resultado independentemente do ângulo theta, concluímos que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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