[1] (2,0 pontos) Determine o
, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite passo a passo. A questão pede para encontrarmos o limite de
quando
se aproxima de
. Vamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, mais especificamente sobre limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Nosso objetivo é descobrir o comportamento dessa função à medida que
se aproxima de
.
Passo 3
Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, expressamos
e
em termos de
e
, onde:
Quando
, isso equivale a
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na função
:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
. Sabemos que
para
próximo de 0. Portanto:
Substituindo de volta na função:
Passo 6
Observamos que
tende a 0 quando
, independentemente dos valores de
. Isso significa que:
Como alcançamos o mesmo resultado independentemente do ângulo
, concluímos que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é igual a 0.