Seja P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+an-2 x^n-2+ldots+a2 x^2+a1 x+a0 um polinômio de grau n. Recordando que se alpha é uma raíz de P(x), então P(x)=(x-alpha) Q(x), onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) por (x-alpha). Particularmente, temos
a x^2+b x+c=a(x-x1)(x-x2),
onde x1 e x2 são raízes da equação do segundo grau a x^2+b x+c=0. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
x^5-2 x^4-x^3+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio de quinto grau x^5-2x^4-x^3+2x^2. O conteúdo envolve fatoração de polinômios usando fator comum, Teorema do Fator e agrupamento de termos para identificar raízes e fatores lineares.

Passo 2

Primeiro, identificamos o maior fator comum a todos os termos. Como cada termo tem um x^2, podemos escrever:

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio cúbico x^3 -2x^2 -x +2 por agrupamento. Separamos em dois grupos:
(x^3 -2x^2) + (-x +2) = x^2(x -2) -1(x -2) = (x^2 -1)(x -2)

Passo 4

Por fim, reconhecemos que x^2-1 é uma diferença de quadrados e fatoramos:
x^2-1 = (x-1)(x+1)
Juntando tudo, obtemos a fatoração completa.

Resposta

x^2(x-2)(x-1)(x+1)

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