Considere a curva polar r=3 cos theta.
Esboce a curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva polar r=3costheta, pede para esboçá-la. O conteúdo é identificação de curvas polares via conversão para equação cartesiana e reconhecimento de figuras clássicas (círculo). Vamos precisar usar x=rcostheta, y=rsintheta e r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Começamos convertendo para coordenadas cartesianas. Multiplicamos ambos os lados por r:
r^2=3rcostheta
Mas r^2=x^2+y^2 e rcostheta=x, logo:
x^2+y^2=3x

Passo 3

Para identificar a figura, completamos o quadrado em x:
x^2-3x+y^2=0
(x-tfrac32)^2 - (tfrac32)^2 + y^2=0
(x-tfrac32)^2 + y^2=(tfrac32)^2
Isso mostra um círculo de centro (tfrac32,0) e raio tfrac32.

Passo 4

Analisando o sinal de r: como r=3costheta, temos r>=0 quando costheta>=0, ou seja thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Conforme theta varia nesse intervalo, traçamos toda a circunferência à direita do eixo y.

Passo 5

No esboço, marcamos o centro em (1,5,0), desenhamos um círculo de raio 1,5 que passa por (0,0) e (3,0). O domínio thetain[-tfracpi2,tfracpi2] garante que só usamos r>=0, mas r negativo apenas retrai pontos já no círculo. Portanto a curva é exatamente esse círculo.

Resposta

Círculo de centro (tfrac32,0) e raio tfrac32, passando por (0,0) e (3,0), dado pela equação (x-tfrac32)^2+y^2=(tfrac32)^2.

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