Considere a curva polar
.
Use a fórmula de comprimento de curva polar para calcular o comprimento de
.
Use a fórmula de comprimento de curva polar para calcular o comprimento de
Passo 1
A gente tem a curva polar dada por
e o objetivo é achar o comprimento dessa curva usando a fórmula de comprimento em coordenadas polares, que envolve
e seu derivada.
Passo 2
O comprimento
de uma curva polar
entre
e
é dado por:
[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2} , d\theta ].
Aqui precisamos determinar os limites de . Como
deve ser não-negativo, temos
, isto é,
.
[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2} , d\theta ].
Aqui precisamos determinar os limites de
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(3\cos\theta) = -3\sin\theta ].
[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(3\cos\theta) = -3\sin\theta ].
Passo 4
Agora montamos o integrando:
Assim,
Assim,
Passo 5
Com tudo em mãos, integramos: