Considere a curva polar r=3 cos theta.
Use a fórmula de comprimento de curva polar para calcular o comprimento de r=3 cos theta.

Passo 1

A gente tem a curva polar dada por r=3costheta e o objetivo é achar o comprimento dessa curva usando a fórmula de comprimento em coordenadas polares, que envolve r(theta) e seu derivada.

Passo 2

O comprimento L de uma curva polar r(theta) entre theta=theta1 e theta=theta2 é dado por:
[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2} , d\theta ].
Aqui precisamos determinar os limites de theta. Como r=3costheta deve ser não-negativo, temos costheta>=0, isto é, -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de r em relação a theta:
[ \frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(3\cos\theta) = -3\sin\theta ].

Passo 4

Agora montamos o integrando:
r^2 + (dr/dtheta)^2 = (3costheta)^2 + (-3sintheta)^2 = 9cos^2theta + 9sin^2theta = 9
Assim,
raizr^2 + l(tfracdrdthetar)^2 = raiz9 = 3

Passo 5

Com tudo em mãos, integramos:
L = integral-tfracpi2^tfracpi2 3 , dtheta = 3 l[thetar]-tfracpi2^tfracpi2 = 3l(tfracpi2 - (-tfracpi2)r) = 3pi

Resposta

3pi

Exercícios relacionados