[1](5,0 pontos) Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada por:
r(t)=lang<= 2 cos t, 3 t, 2 sin trang<=

Passo 1

Estamos com uma função posição da partícula dada por r(t) = lang<= 2 cos t, 3t, 2 sin t rang<=. Nosso objetivo é encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais para determinar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para encontrar a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos r(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dr(t)dt
Vamos derivar cada componente de r(t):
v(t) = lang<= ddt(2 cos t), ddt(3t), ddt(2 sin t) rang<= = lang<= -2 sin t, 3, 2 cos t rang<=

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se temos v(t), a aceleração a(t) é dada por:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente de v(t):
a(t) = lang<= ddt(-2 sin t), ddt(3), ddt(2 cos t) rang<= = lang<= -2 cos t, 0, -2 sin t rang<=

Passo 4

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. Se a velocidade é v(t) = lang<= -2 sin t, 3, 2 cos t rang<=, então a velocidade escalar v(t) é:
v(t) = |v(t)| = raiz(-2 sin t)^2 + 3^2 + (2 cos t)^2 = raiz4 sin^2 t + 9 + 4 cos^2 t
Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1:
v(t) = raiz4(sin^2 t + cos^2 t) + 9 = raiz4(1) + 9 = raiz13

Resposta

A velocidade da partícula é v(t) = lang<= -2 sin t, 3, 2 cos t rang<=, a aceleração é a(t) = lang<= -2 cos t, 0, -2 sin t rang<= e a velocidade escalar é v(t) = raiz13.

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