[1](5,0 pontos) Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada por:
Passo 1
Estamos com uma função posição da partícula dada por
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar dessa partícula. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais para determinar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para encontrar a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos
, a velocidade
é dada por:
Vamos derivar cada componente de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja, se temos
, a aceleração
é dada por:
Vamos derivar cada componente de
:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. Se a velocidade é
, então a velocidade escalar
é:
Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
e a velocidade escalar é
.