Calcule.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de 0 a 1 de x²·√((x³+1)³) dx, que cai no conteúdo de integrais por substituição. Vamos usar essa técnica para simplificar e resolver.

Passo 2

Primeiro, note que a raiz quadrada de (x³+1)³ pode ser escrita como potência:
√l((x³+1)³r) = (x³+1)^3/2 ³³³
Então a integral vira
I = integral0^1 x²,(x³+1)^3/2,dx ²³

Passo 3

Agora fazemos a substituição clássica para lidar com x³+1. Defina
u = x³ + 1 Rightarrow du = 3x²,dx Rightarrow x²,dx = du3 ³²²
Quando x = 0, u = 1; quando x = 1, u = 2. Assim:
I = integralu=1^u=2 (u)^3/2 cdot du3 = 13 integral1^2 u^3/2,du

Passo 4

Basta agora integrar u^{3/2}. O antiderivado é
integral u^3/2,du = u^5/25/2 = 25,u^5/2
Logo,
I = 13 cdot 25 l[u^5/2r]1^2 = 215 l(2^5/2 - 1^5/2r) = 215l(2^5/2 - 1r)
E como 2^{5/2} = 4√2, temos I = \tfrac{2}{15}(4√2 - 1).
Esse é o valor exato da integral pedida."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[

Resposta

215l(4raiz2-1r)

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