Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de 0 a 1 de x²·√((x³+1)³) dx, que cai no conteúdo de integrais por substituição. Vamos usar essa técnica para simplificar e resolver.
Passo 2
Primeiro, note que a raiz quadrada de (x³+1)³ pode ser escrita como potência:
Então a integral vira
Passo 3
Agora fazemos a substituição clássica para lidar com x³+1. Defina
Quando x = 0, u = 1; quando x = 1, u = 2. Assim:
Passo 4
Basta agora integrar u^{3/2}. O antiderivado é
Logo,
E como 2^{5/2} = 4√2, temos I = \tfrac{2}{15}(4√2 - 1).
Esse é o valor exato da integral pedida."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[