Calcule.
integral0^pi / 2 x cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até π/2 de x·cos(2x) dx. O conteúdo principal é integração por partes, pois temos um produto de funções (x e cos(2x)). Vamos usar a fórmula de integração por partes para resolver.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = x ⇒ du = dx
dv = cos(2x) dx ⇒ v = ∫cos(2x) dx = \tfrac{1}{2} sin(2x)
Isso permite usar a fórmula
∫ u,dv = u v - ∫ v,du

Passo 3

Substituindo na fórmula temos a primitiva
F(x) = x cdot tfrac12 sin(2x) - ∫ tfrac12 sin(2x) dx
Agora, para o segundo termo, calculamos
∫ sin(2x) dx = -tfrac12 cos(2x),
opondo na expressão de F(x) resulta
F(x) = tfrac12 x sin(2x) + tfrac14 cos(2x)

Passo 4

Precisamos avaliar F(x) nos limites 0 e π/2:
F(π/2) = \tfrac{1}{2}·(π/2)·sin(π) + \tfrac{1}{4}·cos(π) = 0 + \tfrac{1}{4}(−1) = −\tfrac{1}{4},
F(0) = \tfrac{1}{2}·0·sin(0) + \tfrac{1}{4}·cos(0) = 0 + \tfrac{1}{4}(1) = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

A diferença F(π/2)−F(0) é
−tfrac14 − tfrac14 = −tfrac12

Resposta

−\tfrac{1}{2}

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