Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até π/2 de x·cos(2x) dx. O conteúdo principal é integração por partes, pois temos um produto de funções (x e cos(2x)). Vamos usar a fórmula de integração por partes para resolver.
Passo 2
Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = x ⇒ du = dx
u = x ⇒ du = dx
dv = cos(2x) dx ⇒ v = ∫cos(2x) dx = \tfrac{1}{2} sin(2x)
Isso permite usar a fórmula
Isso permite usar a fórmula
Passo 3
Substituindo na fórmula temos a primitiva
Agora, para o segundo termo, calculamos
opondo na expressão de F(x) resulta
Passo 4
Precisamos avaliar F(x) nos limites 0 e π/2:
F(π/2) = \tfrac{1}{2}·(π/2)·sin(π) + \tfrac{1}{4}·cos(π) = 0 + \tfrac{1}{4}(−1) = −\tfrac{1}{4},
F(0) = \tfrac{1}{2}·0·sin(0) + \tfrac{1}{4}·cos(0) = 0 + \tfrac{1}{4}(1) = \tfrac{1}{4}.
Passo 5
A diferença F(π/2)−F(0) é
Resposta
−\tfrac{1}{2}