- [1,0 pontos]: Um sistema causal, estável, linear e invariante (LIT) no tempo é submetido a uma entrada
, apresentando em sua saída o sinal
descrito a seguir. Determine a resposta em frequência do sistema. Apresente todos os passos do desenvolvimento, justificando-os.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: o sistema é causal, estável, linear e invariante no tempo (LIT).
- Entrada fornecida:
- Saída fornecida:
- Pedido: determinar a resposta em frequência do sistema. Ou seja, encontrar a função de transferência
(do ponto de vista da transformada de Laplace) e então a resposta em frequência (obtida substituindo ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O sinal dentro das chaves é combinação de três exponenciais deslocadas no tempo por
unidades e multiplicadas por . - O operador
atua sobre esse sinal deslocado; isso pode gerar termos regulares e, se houver descontinuidade no instante de deslocamento, impulsos em . Precisamos verificar isso. - Para relacionar entrada e saída na frequência vamos usar transformada de Laplace:
.
Passo 2
Calcular
, a transformada de Laplace da entrada, explicando as regras usadas.
- Lembrete (fórmula usada): a transformada de Laplace de
é
- Aplicando ao nosso caso com
:
Aqui
é a variável complexa da transformada de Laplace.
Passo 3
Manipular a expressão de
para escrever numa forma mais conveniente antes de transformar.
Defina
Então
.
Vamos calcular
. Há duas observações teóricas importantes (explicadas de forma didática):
- Regra da derivada do produto com um degrau deslocado: se
então
Ou seja, além da derivada “normal” para
, aparece um impulso na descontinuidade se
tiver valor não nulo em
.
- Portanto precisamos verificar
onde avaliada em (ou seja em argumento zero).
Calcule
:
Como
, não aparece termo impulsivo em
. Logo a derivada é apenas a derivada ponto a ponto multiplicada por
.
Agora derive cada termo (para
):
-
. -
. -
.
Portanto, sem impulsos, temos
Passo 4
Calcular
, a transformada de Laplace da saída, usando o teorema do deslocamento no tempo.
- Lembrete (fórmula usada): se
pode ser escrito como com para , então
onde
.
- Aqui cada termo é do tipo
com , cuja transformada é .
Aplicando termo a termo (e lembrando do fator
do deslocamento):
Essa expressão é a transformada de Laplace da saída válida para regiões de convergência compatíveis (a notação mostra que há um atraso
s no tempo).
Observação: essa expressão também poderia ser obtida usando a propriedade da derivada na Laplace:
. Como
(sinal nulo antes de
) obtemos
e
, levando ao mesmo resultado depois de manipular algebricamente. Ambas as vistas são consistentes.
Passo 5
Determinar a função de transferência
e simplificá-la; depois escrever a resposta em frequência
.
Já temos
Dividindo
por
:
Multiplicando por
:
Agora fazemos uma simplificação algébrica para colocar
numa forma racional multiplicada por
. Colocando tudo sobre o mesmo denominador
e simplificando obtemos (mostrando os cálculos principais de soma de termos):
Uma forma equivalente (expandida) é
Ambas as formas são equivalentes e mostram claramente a presença do atraso
(causando apenas fase/atraso na resposta em frequência) e a parte racional que determina ganho e pólos/zeros.
Finalmente, a resposta em frequência (avaliando
) é
Passo 6
Interpretação curta (útil para a prova):
- O atraso
aparece como fator de fase em (atraso puro de s). - Os polos estão em
e (raízes de ), ambos no semiplano esquerdo, compatíveis com estabilidade. - O numerador tem grau 2 (proporcional a
), e o denominador também tem grau 2 — o sistema é propriamente definido (grau num = grau den) e o atraso não altera estabilidade, apenas fase.