[1 pt] Considere a função f(x)=raizx-3, utilizando APENAS a definição de derivada, calcule f^prime(5).

Passo 1

Nesse exercício, a função é f(x)=raizx-3 e queremos calcular f'(5) usando apenas a definição de derivada. O conteúdo envolve limite do quociente de diferença e técnica de racionalização.

Passo 2

Pela definição de derivada em a=5, temos
f'(5)=limhto0f(5+h)-f(5)h
Substituindo f(x)=raizx-3, o numerador fica
f'(5)=limhto0raiz2+h-raiz2h
e assim

Passo 3

Para calcular esse limite, racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raiz2+h+raiz2:
raiz2+h-raiz2hcdotraiz2+h+raiz2raiz2+h+raiz2 =(2+h)-2hl(raiz2+h+raiz2r) =hhl(raiz2+h+raiz2r) =1raiz2+h+raiz2

Passo 4

Basta agora tomar o limite quando hto0. Substituindo na expressão racionalizada, temos
f'(5)=limhto01raiz2+h+raiz2=1raiz2+raiz2=12raiz2

Resposta

12raiz2

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