[2,0 pts.] 3) Obtenha os extremos absolutos e classifique os pontos críticos de
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h(x, y)=y^3-6 x y+8 x^3
no triângulo com vértices (0,0),(2,2),(0,2).

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os extremos absolutos de
h(x,y)=y^3-6xy+8x^3
no triângulo fechado com vértices (0,0),(2,2),(0,2) e, além disso, classifique todos os pontos críticos (interiores ou não) de h. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos, a matriz Hessiana para classificá-los, e em seguida analisar as fronteiras para verificar os valores de h nos extremos absolutos.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e resolvamos
Igualando a zero:
De e vem
Logo os pontos críticos são .

Passo 3

Classificação local via Hessiana
hxx=48x, hyy=6y, hxy=hyx=-6
No ponto l(tfrac12,1r) temos
hxx=24,;hyy=6,;D = hxxhyy - hxy^2 = 24cdot6 - 36 = 108>0,
como hxx>0 é mínimo local.
Em (0,0)
hxx=0,;hyy=0,;D = 0cdot0 -36 = -36<0,
logo é ponto de sela.

Passo 4

Análise das fronteiras: cada lado do triângulo gera uma função de uma variável, achamos seus extremos e avaliamos h.
  1. Lado de (0,0) a (0,2): x=0,;yin[0,2].
    ;h(0,y)=y^3 cresce em [0,2], mínimos em y=0 ( h=0), máximos em y=2 ( h=8).
  2. Lado de (0,0) a (2,2): y=x,;xin[0,2].
    h(x,x)=9x^3-6x^2 = x^2(9x-6)
    Derivando e igualando a zero dá x=0 e x=4/9. Avaliando:
    h(0,0)=0, hl(tfrac49,tfrac49r)=-tfrac3281, h(2,2)=48
  3. Lado de (0,2) a (2,2): y=2,;xin[0,2].
    h(x,2)=8x^3-12x+8, h'(x)=24x^2-12=0Rightarrow x=tfrac1raiz2
    Avaliando:
    h(0,2)=8, hl(tfrac1raiz2,2r)=8(1/(2raiz2))-12(1/raiz2)+8approx2,34, h(2,2)=48

Passo 5

Reunindo todos os candidatos:
(1/2,1):;h=-1; (4/9,4/9):;h=-32/81approx-0,395; (0,0):0; (0,2):8; (1/raiz2,2):approx2,34; (2,2):48
O menor valor é h=-1 em l(tfrac12,1r) e o maior é h=48 em (2,2).

Resposta

O valor mínimo absoluto de h no triângulo é
hl(tfrac12,1r)=-1,
e o valor máximo absoluto é
h(2,2)=48
Os pontos críticos são
l(tfrac12,1r)(mínimo local e também absoluto), íé
(0,0)(ponto de sela)

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