Obtenha a solução geral de
x y^prime=(1-x tg x) y+x cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' = l(1 - xtan xr),y + xcos x
Isso é uma equação linear no formato y' + P(x),y = Q(x). Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x, obtemos a forma padrão
y' + l(tan x - tfrac1xr),y = cos x
Aqui identificamos
P(x) = tan x - 1x, Q(x) = cos x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral tan x,dx - integral 1x,dx = e^-ln|cos x| - ln|x| = 1xcos x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) temos
1xcos x,y' + tan x - 1xxcos x,y = cos xxcos x ;Longrightarrow; ddxl(yxcos xr) = 1x
Integrando ambos os lados em relação a x resulta
yxcos x = integral 1x,dx = ln|x| + C

Passo 5

Isolando y obtemos a solução geral
y(x) = xcos x;l(ln|x| + Cr),
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = xcos xl(ln|x| + Cr)

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