[1,5 pt] Uma mola tem massa de
com constante de amortecimento igual a
e a sua constante de mola é
. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto
abaixo da sua posição de equilíbrio. Qual é a equação do movimento se a mola sofre a ação de uma força externa igual a.
?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido e forçado. Temos massa
, coeficiente de amortecimento
, constante da mola
e força externa
. A condição inicial é que a massa é largada do repouso em
m abaixo do equilíbrio, ou seja,
e
. Vamos montar a EDO, achar a solução geral (complementar + particular) e usar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Multiplicando tudo por 5, fica
Passo 3
Resolvemos primeiro a homogênea
A equação característica é
Logo a solução complementar é
Passo 4
Procuramos solução particular do tipo
Derivando e substituindo em
Da segunda equação vem (B = -4A]. Substituindo na primeira:
Portanto
Portanto
Passo 5
A solução geral é
Usando
e
:
De segue
De
Agora calculamos
, e em
impor
. Fazendo as contas (detalhes de derivada homogênea e particular) chega-se a
Resposta
A equação do movimento é