[1,5 pt] Uma mola tem massa de \frac{1}{5} \mathrm{~kg} com constante de amortecimento igual a \frac{6}{5} e a sua constante de mola é k=2. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,5 \mathrm{~m} abaixo da sua posição de equilíbrio. Qual é a equação do movimento se a mola sofre a ação de uma força externa igual a. F(t)=5 \cos 4 t ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido e forçado. Temos massa m=\tfrac15, coeficiente de amortecimento c=\tfrac65, constante da mola k=2 e força externa F(t)=5\cos4t. A condição inicial é que a massa é largada do repouso em x(0)=0{,}5 m abaixo do equilíbrio, ou seja, x(0)=0{,}5 e \dot x(0)=0. Vamos montar a EDO, achar a solução geral (complementar + particular) e usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento:
m\ddot x + c\dot x + kx = F(t).
Substituindo m=\tfrac15, c=\tfrac65, k=2 e F(t)=5\cos4t, obtemos
\tfrac15\ddot x + \tfrac65\dot x + 2x = 5\cos4t.
Multiplicando tudo por 5, fica
\ddot x + 6\dot x + 10x = 25\cos4t.

Passo 3

Resolvemos primeiro a homogênea
\ddot x + 6\dot x + 10x = 0.
A equação característica é
r^2 + 6r + 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = -3 \pm i.
Logo a solução complementar é
x_c(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr).

Passo 4

Procuramos solução particular do tipo
x_p(t) = A\cos4t + B\sin4t.
Derivando e substituindo em \ddot x+6\dot x+10x=25\cos4t\), obtemos o sistema \[\begin{cases} -6A + 24B = 25,\\\\ -24A - 6B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem (B = -4A]. Substituindo na primeira:
-6A + 24(-4A) = -102A = 25 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{25}{102}, \quad B = \tfrac{50}{51}.
Portanto
x_p(t) = -\tfrac{25}{102}\cos4t + \tfrac{50}{51}\sin4t.

Passo 5

A solução geral é
x(t) = x_c(t) + x_p(t) = e^{-3t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr) - \tfrac{25}{102}\cos4t + \tfrac{50}{51}\sin4t.
Usando x(0)=0{,}5 e \dot x(0)=0:
De x(0)=C_1 - \tfrac{25}{102}=0{,}5 segue
C_1 = 0{,}5 + \tfrac{25}{102} = \tfrac{38}{51}.
Agora calculamos \dot x(t), e em t=0 impor \dot x(0)=0. Fazendo as contas (detalhes de derivada homogênea e particular) chega-se a
C_2 = -\tfrac{86}{51}.

Resposta

A equação do movimento é
\boxed{ x(t) = e^{-3t}\Bigl(\tfrac{38}{51}\cos t - \tfrac{86}{51}\sin t\Bigr) - \tfrac{25}{102}\cos4t + \tfrac{50}{51}\sin4t. }

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