[1,5 pt ] Usando transformada de Laplace, determine a corrente i(t) em um circuito R L C de malha simples no qual L=0,1 \mathrm{~h}, R=2 \Omega, C=0,1 \mathrm{f}, i(0)=0 e e a tensão aplicada é
E(t)= \begin{cases}120 t, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O problema pede a corrente i(t)\) num circuito série \(RLC\) submetido à tensão \[E(t)= \begin{cases} 120\,t,&0\le t<1,\\\\ 0,&t\ge1, \end{cases}
com L=0,1\]\,H, \(R=2,Ω, C=0,1,F e i(0)=0.
Vamos usar transformada de Laplace, aproveitando que no domínio s a impedância do circuito é
Z(s)=L\,s + R + \frac{1}{C\,s} =0,1\,s + 2 + \frac{1}{0,1\,s} =0,1\,s + 2 + \frac{10}{s} =0{,}1\,(s+10)^2\big/\!s.
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I(s)=\frac{E(s)}{Z(s)}.

Passo 2

Calcular E(s)=\mathcal L\{E(t)\}. Para 0\le t<1, E(t)=120\,t, depois zero, temos
E(s)=\int_{0}^{1}120\,t\,e^{-s t}\,dt =120\Bigl[\,-\frac{t\,e^{-s t}}{s}-\frac{e^{-s t}}{s^2}\Bigr]_0^1 =120\Bigl(\frac{1}{s^2}-e^{-s}\frac{s+1}{s^2}\Bigr) =\frac{120}{s^2}\Bigl(1 - e^{-s}(s+1)\Bigr).

Passo 3

Como Z(s)=0{,}1(s+10)^2/s, temos
I(s) =\frac{E(s)}{Z(s)} =\frac{\displaystyle \frac{120}{s^2}\bigl(1 - e^{-s}(s+1)\bigr)} {0{,}1\frac{(s+10)^2}{s}} =\frac{120}{s^2}\cdot\frac{s}{0{,}1\,(s+10)^2}\bigl(1 - e^{-s}(s+1)\bigr) =\frac{1200}{s\,(s+10)^2}\Bigl(1 - e^{-s}(s+1)\Bigr).
Distribuindo, escrevemos
I(s) =1200\Bigl[\frac{1}{s\,(s+10)^2}\;-\;e^{-s}\frac{s+1}{s\,(s+10)^2}\Bigr].

Passo 4

Fazemos frações parciais em \displaystyle\frac{1}{s\,(s+10)^2}. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s\,(s+10)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{(s+10)^2}.
Igualando numeradores obtém-se A=1/100, B=-1/100, C=-0,1.
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\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s\,(s+10)^2}\Bigr\} =\frac1{100} -\frac1{100}e^{-10t} -0{,}1\,t\,e^{-10t}.
Multiplicando por 1200 dá a resposta parcial (para 0<t)
i_1(t) =1200\Bigl(\frac1{100}-\frac1{100}e^{-10t}-0{,}1\,t\,e^{-10t}\Bigr) =12-12\,e^{-10t}-120\,t\,e^{-10t}.

Passo 5

Agora a segunda parte, com o termo deslocado \displaystyle e^{-s}\frac{s+1}{s\,(s+10)^2}. Fazendo frações parciais em \frac{s+1}{s\,(s+10)^2} obtém-se
\frac{s+1}{s\,(s+10)^2} =\frac{1/100}{s}-\frac{1/100}{s+10}+\frac{0{,}9}{(s+10)^2}.
Invertendo e usando o retardo dá, para t\ge1,
i_2(t) =1200\,u(t-1)\Bigl[\frac1{100}-\frac1{100}e^{-10(t-1)}+0{,}9\,(t-1)e^{-10(t-1)}\Bigr] = u(t-1)\Bigl[12-12\,e^{-10(t-1)}+1080\,(t-1)e^{-10(t-1)}\Bigr].

Resposta

Assim, a corrente é
i(t)= \begin{cases} 12 - 12\,e^{-10t} - 120\,t\,e^{-10t},&0\le t<1,\\[6pt] \bigl[12 - 12\,e^{-10t} - 120\,t\,e^{-10t}\bigr] -\bigl[12 - 12\,e^{-10(t-1)} + 1080\,(t-1)e^{-10(t-1)}\bigr],&t\ge1. \end{cases}]

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