[1,5 pt ] Usando transformada de Laplace, determine a corrente i(t) em um circuito R L C de malha simples no qual L=0,1 \mathrm{~h}, R=2 \Omega, C=0,1 \mathrm{f}, i(0)=0 e e a tensão aplicada é E(t)= \begin{cases}120 t, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & t \geq 1\end{cases} Passo 1O problema pede a corrente i(t)\) num circuito série \(RLC\) submetido à tensão \[E(t)= \begin{cases} 120\,t,&0\le t<1,\\\\ 0,&t\ge1, \end{cases} com L=0,1\]\,H, \(R=2,Ω, C=0,1,F e i(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace, aproveitando que no domínio s a impedância do circuito é Z(s)=L\,s + R + \frac{1}{C\,s} =0,1\,s + 2 + \frac{1}{0,1\,s} =0,1\,s + 2 + \frac{10}{s} =0{,}1\,(s+10)^2\big/\!s. Logo I(s)=\frac{E(s)}{Z(s)}. Passo 2Calcular E(s)=\mathcal L\{E(t)\}. Para 0\le t<1, E(t)=120\,t, depois zero, temos E(s)=\int_{0}^{1}120\,t\,e^{-s t}\,dt =120\Bigl[\,-\frac{t\,e^{-s t}}{s}-\frac{e^{-s t}}{s^2}\Bigr]_0^1 =120\Bigl(\frac{1}{s^2}-e^{-s}\frac{s+1}{s^2}\Bigr) =\frac{120}{s^2}\Bigl(1 - e^{-s}(s+1)\Bigr). Passo 3Como Z(s)=0{,}1(s+10)^2/s, temos I(s) =\frac{E(s)}{Z(s)} =\frac{\displaystyle \frac{120}{s^2}\bigl(1 - e^{-s}(s+1)\bigr)} {0{,}1\frac{(s+10)^2}{s}} =\frac{120}{s^2}\cdot\frac{s}{0{,}1\,(s+10)^2}\bigl(1 - e^{-s}(s+1)\bigr) =\frac{1200}{s\,(s+10)^2}\Bigl(1 - e^{-s}(s+1)\Bigr). Distribuindo, escrevemos I(s) =1200\Bigl[\frac{1}{s\,(s+10)^2}\;-\;e^{-s}\frac{s+1}{s\,(s+10)^2}\Bigr]. Passo 4Fazemos frações parciais em \displaystyle\frac{1}{s\,(s+10)^2}. Procuramos constantes A,B,C tais que \frac{1}{s\,(s+10)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{(s+10)^2}. Igualando numeradores obtém-se A=1/100, B=-1/100, C=-0,1. Logo \mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s\,(s+10)^2}\Bigr\} =\frac1{100} -\frac1{100}e^{-10t} -0{,}1\,t\,e^{-10t}. Multiplicando por 1200 dá a resposta parcial (para 0<t) i_1(t) =1200\Bigl(\frac1{100}-\frac1{100}e^{-10t}-0{,}1\,t\,e^{-10t}\Bigr) =12-12\,e^{-10t}-120\,t\,e^{-10t}. Passo 5Agora a segunda parte, com o termo deslocado \displaystyle e^{-s}\frac{s+1}{s\,(s+10)^2}. Fazendo frações parciais em \frac{s+1}{s\,(s+10)^2} obtém-se \frac{s+1}{s\,(s+10)^2} =\frac{1/100}{s}-\frac{1/100}{s+10}+\frac{0{,}9}{(s+10)^2}. Invertendo e usando o retardo dá, para t\ge1, i_2(t) =1200\,u(t-1)\Bigl[\frac1{100}-\frac1{100}e^{-10(t-1)}+0{,}9\,(t-1)e^{-10(t-1)}\Bigr] = u(t-1)\Bigl[12-12\,e^{-10(t-1)}+1080\,(t-1)e^{-10(t-1)}\Bigr]. RespostaAssim, a corrente é i(t)= \begin{cases} 12 - 12\,e^{-10t} - 120\,t\,e^{-10t},&0\le t<1,\\[6pt] \bigl[12 - 12\,e^{-10t} - 120\,t\,e^{-10t}\bigr] -\bigl[12 - 12\,e^{-10(t-1)} + 1080\,(t-1)e^{-10(t-1)}\bigr],&t\ge1. \end{cases}] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados[1,5 pt] Uma mola tem massa de \frac{1}{5} \mathrm{~kg} com constante de amortecimento igual a \frac{6}{5} e a sua constante de mola é k=2. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,5 \mathrm{~m} abaixo da sua posição de equilíbrio. Qual é a equação do movimento se a mola sofre a ação de uma força externa igual a. F(t)=5 \cos 4 t ? Exercício 7. (Valor: oo,80 ponto cada item ) Obter uma equação diferencial ordinária de 2^{a} ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes e tal que y(t)=c_{1} t e^{\frac{2}{3} t}+c_{2} e^{\frac{2}{3} t} seja sua solução geral. A elasticidade-preço da oferta costuma ser maior no curto ou longo prazo? Por quê? Defina matematicamente e interprete conceitualmente a elasticidade-preço, elasticidade-preço cruzada e elasticidade-renda.