Exercício 7. (Valor: oo,80 ponto cada item ) Obter uma equação diferencial ordinária de 2^{a} ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes e tal que
y(t)=c_{1} t e^{\frac{2}{3} t}+c_{2} e^{\frac{2}{3} t} seja sua solução geral.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes, cuja solução geral seja \,y(t)=c_{1}\,t\,e^{\tfrac{2}{3}t}+c_{2}\,e^{\tfrac{2}{3}t}.
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e vamos usar a relação entre as raízes da equação característica e as soluções da EDO.

Passo 2

Como a solução geral é combinação de \,y_{1}(t)=e^{\tfrac{2}{3}t} e \,y_{2}(t)=t\,e^{\tfrac{2}{3}t},
concluímos que a equação característica tem raiz r=\tfrac{2}{3} de multiplicidade 2. Logo, a equação característica é
(r - \tfrac{2}{3})^{2} = 0.

Passo 3

Expandindo a equação característica obtemos
r^{2} - \tfrac{4}{3}r + \tfrac{4}{9} = 0.
Isso gera a equação diferencial
y'' - \tfrac{4}{3}y' + \tfrac{4}{9}y = 0.
Multiplicando por 9 para ter coeficientes inteiros, chega-se a
9y'' - 12y' + 4y = 0.

Resposta

Uma forma conveniente da EDO é
y'' - \tfrac{4}{3}y' + \tfrac{4}{9}y = 0,
ou, multiplicando por 9,
9y'' - 12y' + 4y = 0.

Exercícios relacionados