Exercício 7. (Valor: oo,80 ponto cada item ) Obter uma equação diferencial ordinária de 2^{a} ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes e tal que
x(t)=c_{1} e^{-4 t}+c_{2} e^{5 t} seja sua solução geral;

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes, cuja solução geral seja
x(t)=c_{1}e^{-4t}+c_{2}e^{5t}.
Para resolver, vamos usar a relação entre soluções exponenciais e a equação característica de uma EDO linear homogênea.

Passo 2

Como a solução geral é combinação linear de e^{-4t} e e^{5t}, os autovalores (raízes da equação característica) devem ser
\lambda_{1}=-4 \quad\text{e}\quad \lambda_{2}=5.

Passo 3

O polinômio característico associado terá raízes \lambda_{1} e \lambda_{2}, ou seja,
(\lambda - \lambda_{1})(\lambda - \lambda_{2}) = (\lambda + 4)(\lambda - 5) = \lambda^{2} - \lambda - 20.

Passo 4

Substituindo \lambda^2 por D^2, \lambda por D (sendo D=\tfrac{d}{dt}) e igualando a zero, obtemos a EDO
D^{2} - D - 20 = 0,
que em termos de x(t) fica
x''(t) - x'(t) - 20\,x(t) = 0.

Resposta

x''(t) - x'(t) - 20\,x(t) = 0.

Exercícios relacionados