[1] (2.0 ptos) Considere a curva
.
(a) (1.0 pto) Ache uma equação cartesiana e faça um esboço da curva.
(b) (1.0 pto) Calcule os vetores tangente e normal unitários. A reta
é paralela à alguma reta tangente à curva? Se sim, ache o ponto de tangência.
(a) (1.0 pto) Ache uma equação cartesiana e faça um esboço da curva.
(b) (1.0 pto) Calcule os vetores tangente e normal unitários. A reta
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
O conteúdo envolve (a) passar para equação cartesiana usando identidade trigonométrica e esboçar a curva, e (b) calcular o vetor tangente e normal unitários de uma curva plana e verificar se uma reta dada é paralela a alguma reta tangente à curva.
Passo 2
Usamos a identidade
Da parametrização vem
Substituindo na identidade resulta
que é a equação cartesiana de uma hipérbole centrada em
.
Passo 3
A hipérbole abre-se verticalmente (ramificações para cima e para baixo). O centro é
. As assíntotas obtêm-se fazendo o “1” na equação tender a zero, ou seja
No esboço, desenha-se o centro em
, as retas-guia acima e os dois ramos da hipérbole alongando-se paralelamente a essas assíntotas.
Passo 4
O vetor velocidade (não unitário) é
Calculamos seu módulo:
Logo o vetor tangente unitário é
Um vetor normal unitário é dado girando
em
:
que satisfaz
e
.
Passo 5
A inclinação da reta tangente à curva é
A reta dada
pode ser escrita como
logo tem inclinação
. Igualando
que está fora do domínio aberto
. Portanto não há ponto real de tangência onde a reta seja paralela a uma reta tangente da curva.
Resposta
(a) A equação cartesiana é
hipérbole de centro
com assíntotas
(b)
Não existe
tal que a reta
seja paralela a uma reta tangente da curva.