Questão 4(2,5) : Encontre a solução geral da EDO de 2^a ordem abaixo:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=sen(e^x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = sinl(e^xr)
O conteúdo envolve (1) resolver a equação homogênea associada e (2) encontrar uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0
pela equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0 Longrightarrow (r+1)(r+2)=0 Longrightarrow r=-1,,-2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y1 = e^-x, y2 = e^-2x
O Wronskiano é
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^-xl(-2e^-2xr) - l(-e^-xr)e^-2x = -e^-3x
As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u1' = -y2,sin(e^x)W, u2' = y1,sin(e^x)W ]

Passo 4

Substituindo
u1' = -e^-2x,sin(e^x)-e^-3x = e^x,sinl(e^xr), u2' = e^-x,sin(e^x)-e^-3x = -,e^2x,sinl(e^xr)

Passo 5

Integramos em x. Com a troca t=e^x, dt=e^x dx:
u1 = integral e^xsin(e^x),dx = integral sin(t),dt = -cos(t) = -cosl(e^xr)
u2 = integral -e^2xsin(e^x),dx = -integral t,sin(t),dt = -l(-tcos t + sin tr) = tcos t - sin t = e^xcosl(e^xr) - sinl(e^xr)

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l[-cos(e^x)r]e^-x + l[e^xcos(e^x)-sin(e^x)r]e^-2x
Distribuindo e simplificando, os termos com cos(e^x) se cancelam, restando
yp(x) = -,e^-2x,sinl(e^xr)

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x - e^-2x,sinl(e^xr)

Resposta

boxed,y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x ;-; e^-2x,sinl(e^xr),

Exercícios relacionados