[1,5 pts] Calcule \iint_{S} 2 x+y+2 z d S onde S é o pedaço do plano 4 x+y+z=2 que está no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (2x+y+2z)\,dS
onde S é o pedaço do plano
4x+y+z=2
que está no primeiro octante. Informações importantes dadas: \quad — A expressão a integrar é 2x+y+2z. \quad — A superfície S é um plano, restrito ao primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0). \quad — Devemos usar a parte do plano onde as três coordenadas são não negativas.
Passo 2
Vamos representar o plano como gráfico de uma função z=g(x,y). Isolando z na equação do plano:
z = 2 - 4x - y.
Quando temos uma superfície dada por z=g(x,y), a elemental de área da superfície é dada por
dS = \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA,
onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y, e dA é o elemento de área na projeção no plano xy. Explicando: g_x mede a inclinação da superfície na direção x e g_y na direção y; a raiz vem da fórmula do comprimento/área inclinado (generalização do fator \sqrt{1+(dy/dx)^2} visto nas curvas).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de g(x,y)=2-4x-y: