[1,5 pts] Calcule \iint_{S} 2 x+y+2 z d S onde S é o pedaço do plano 4 x+y+z=2 que está no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (2x+y+2z)\,dS
onde S é o pedaço do plano
4x+y+z=2
que está no primeiro octante. Informações importantes dadas:
\quad — A expressão a integrar é 2x+y+2z.
\quad — A superfície S é um plano, restrito ao primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0).
\quad — Devemos usar a parte do plano onde as três coordenadas são não negativas.

Passo 2

Vamos representar o plano como gráfico de uma função z=g(x,y). Isolando z na equação do plano:
z = 2 - 4x - y.
Quando temos uma superfície dada por z=g(x,y), a elemental de área da superfície é dada por
dS = \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dA,
onde g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y, e dA é o elemento de área na projeção no plano xy. Explicando: g_x mede a inclinação da superfície na direção x e g_y na direção y; a raiz vem da fórmula do comprimento/área inclinado (generalização do fator \sqrt{1+(dy/dx)^2} visto nas curvas).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de g(x,y)=2-4x-y:
g_x = \frac{\partial}{\partial x}(2-4x-y) = -4, \qquad g_y = \frac{\partial}{\partial y}(2-4x-y) = -1.
Substituindo em dS:
dS = \sqrt{1+(-4)^2+(-1)^2}\,dA = \sqrt{1+16+1}\,dA = \sqrt{18}\,dA = 3\sqrt{2}\,dA.
Portanto o fator de área é constante sobre todo o pedaço do plano: dS = 3\sqrt{2}\,dA.

Passo 4

Expressamos a função integranda em termos de x e y substituindo z=g(x,y):
2x+y+2z = 2x+y+2(2-4x-y) = 4 -6x - y.
Assim a integral sobre S reduz-se à integral dupla sobre a região R no plano xy (a projeção de S no plano xy):
\iint_{S} (2x+y+2z)\,dS = \iint_{R} (4-6x-y)\cdot 3\sqrt{2}\,dA.

Passo 5

Determine a região R: como z\ge0 no primeiro octante, temos
2-4x-y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y \le 2-4x.
Também x\ge0 e y\ge0. Assim R é o triângulo no plano xy delimitado por x=0, y=0 e y=2-4x. O valor máximo de x ocorre quando y=0:
2-4x=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.
Logo uma parametrização conveniente em coordenadas x,y é
0\le x\le \tfrac{1}{2},\qquad 0\le y\le 2-4x.

Passo 6

Montamos a integral dupla em ordem dy\,dx:
\iint_{S} (2x+y+2z)\,dS = 3\sqrt{2}\int_{x=0}^{1/2}\int_{y=0}^{2-4x} (4-6x-y)\,dy\,dx.
Calculemos a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{0}^{2-4x} (4-6x-y)\,dy = (4-6x)\,y - \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{2-4x}.
Avalie em y=2-4x:
(4-6x)(2-4x) - \frac{(2-4x)^2}{2}.
Façamos as contas passo a passo. Primeiro
(4-6x)(2-4x) = 8 -28x +24x^2,
e
\frac{(2-4x)^2}{2} = \frac{4 -16x +16x^2}{2} = 2 -8x +8x^2.
Subtraindo,
(8 -28x +24x^2) - (2 -8x +8x^2) = 6 -20x +16x^2.

Passo 7

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1/2} (6 -20x +16x^2)\,dx = \Big[6x -10x^2 + \frac{16}{3}x^3\Big]_{0}^{1/2}.
Avalie em x=\tfrac{1}{2}:
6\cdot\tfrac{1}{2} -10\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \frac{16}{3}\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 3 - \tfrac{10}{4} + \frac{16}{3}\cdot \tfrac{1}{8} = 3 - \tfrac{5}{2} + \tfrac{2}{3}.
Somando as frações obtemos
3 - \tfrac{5}{2} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{7}{6}.
Portanto a integral dupla sem o fator 3\sqrt{2} vale \tfrac{7}{6}. Assim a integral sobre S é
3\sqrt{2}\cdot \tfrac{7}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}

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