[2,0 pts] Calcule \iint_{S} \vec{F} d \vec{S} onde \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x+2 y, x^{2} z+y,-2+x^{2}+z\right) e S superfície que delimita a região x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \leq 0.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular \iint_{S} \vec{F}\,d\vec{S}, o fluxo do campo \vec{F} através da superfície S.
Informações dadas:
Observação sobre a superfície S: ela é a superfície fechada que consiste na metade inferior da esfera de raio 3 (a casca esférica com z\le 0) mais o disco plano em z=0 com x^{2}+y^{2}\le 9. A integral pedida é o fluxo através dessa superfície fechada orientada para fora do sólido.
Passo 2
Estratégia escolhida e por quê: como S é a superfície fechada que delimita um sólido, o caminho mais direto é usar a identidade que transforma o fluxo por uma superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume interior. Essa identidade diz que o fluxo sobre a superfície fechada (orientada externamente) é igual à integral do divergente do campo sobre o volume interior. Vou usar essa ferramenta porque torna a conta muito simples quando o divergente é uma função fácil (aqui será constante).
Agora precisamos do volume \operatorname{Vol}(V) do sólido. V é a metade inferior da bola de raio 3. Podemos calcular o volume usando coordenadas esféricas ou lembrar a fórmula do volume da esfera e dividir por 2. Vou mostrar o cálculo em coordenadas esféricas para ser bem explícito.
Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância à origem), \theta (ângulo azimutal) e \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo +z). O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.
Os limites para o sólido (metade inferior da bola de raio 3) são:
Comentário final/checagem: outra forma rápida seria lembrar que o volume da esfera de raio 3 é \tfrac{4}{3}\pi 3^{3}=36\pi, e a metade inferior tem volume 18\pi; multiplicando pelo divergente 4 também dá 72\pi. A orientação externa está corretamente considerada na aplicação da fórmula da integral do divergente, então não há mudança de sinal.