[2,0 pts] Calcule \iint_{S} \vec{F} d \vec{S} onde \vec{F}(x, y, z)=\left(2 x+2 y, x^{2} z+y,-2+x^{2}+z\right) e S superfície que delimita a região x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9, z \leq 0.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \iint_{S} \vec{F}\,d\vec{S}, o fluxo do campo \vec{F} através da superfície S.
Informações dadas:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(2x+2y,\;x^{2}z+y,\;-2+x^{2}+z\bigr)
e S é a superfície que delimita a região
\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; z\le 0\}.
Observação sobre a superfície S: ela é a superfície fechada que consiste na metade inferior da esfera de raio 3 (a casca esférica com z\le 0) mais o disco plano em z=0 com x^{2}+y^{2}\le 9. A integral pedida é o fluxo através dessa superfície fechada orientada para fora do sólido.

Passo 2

Estratégia escolhida e por quê: como S é a superfície fechada que delimita um sólido, o caminho mais direto é usar a identidade que transforma o fluxo por uma superfície fechada em uma integral tripla sobre o volume interior. Essa identidade diz que o fluxo sobre a superfície fechada (orientada externamente) é igual à integral do divergente do campo sobre o volume interior. Vou usar essa ferramenta porque torna a conta muito simples quando o divergente é uma função fácil (aqui será constante).
A fórmula que vamos usar é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\;dV,
onde V é o volume delimitado por S e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}.

Passo 3

Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(2x+2y)+\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}z+y)+\frac{\partial}{\partial z}(-2+x^{2}+z).
Agora cálculo cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}(2x+2y)=2,
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}z+y)=1,
\frac{\partial}{\partial z}(-2+x^{2}+z)=1.
Somando:
\nabla\cdot\vec{F}=2+1+1=4.
Ou seja, o divergente é a constante 4.

Passo 4

Montar a integral tripla. Pelo passo anterior,
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}4\;dV = 4\cdot \operatorname{Vol}(V).
Agora precisamos do volume \operatorname{Vol}(V) do sólido. V é a metade inferior da bola de raio 3. Podemos calcular o volume usando coordenadas esféricas ou lembrar a fórmula do volume da esfera e dividir por 2. Vou mostrar o cálculo em coordenadas esféricas para ser bem explícito.
Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância à origem), \theta (ângulo azimutal) e \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo +z). O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.
Os limites para o sólido (metade inferior da bola de raio 3) são:
0\le \rho\le 3,\quad 0\le \theta\le 2\pi,\quad \frac{\pi}{2}\le \varphi\le \pi
(usar \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] porque queremos a metade com z\le 0).

Passo 5

Avaliar a integral tripla explicitamente:
\iiint_{V}4\;dV = 4\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{3}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\;d\varphi\;d\theta.
Calculamos passo a passo.
Primeiro a integral em \rho:
\int_{0}^{3}\rho^{2}\;d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{3}=\frac{27}{3}=9.
Depois a integral em \varphi:
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/2}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos(\pi/2)) =(-(-1))-(0)=1.
Finalmente a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando tudo:
\iiint_{V}4\;dV = 4\cdot\bigl(9\cdot 1\cdot 2\pi\bigr)=4\cdot 18\pi=72\pi.

Passo 6

Comentário final/checagem: outra forma rápida seria lembrar que o volume da esfera de raio 3 é \tfrac{4}{3}\pi 3^{3}=36\pi, e a metade inferior tem volume 18\pi; multiplicando pelo divergente 4 também dá 72\pi. A orientação externa está corretamente considerada na aplicação da fórmula da integral do divergente, então não há mudança de sinal.

Resposta

\;72\pi

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