Use a derivação implícita para encontrar partial zpartial x: y z+x ln y=z^2

Passo 1

O enunciado define z como função implícita de x e y pela relação
y,z + x ln y = z^2
Queremos usar derivação implícita em relação a x, mantendo y constante, para encontrar partial zpartial x.

Passo 2

Aplicamos partialpartial x em ambos os lados de
y,z + x ln y = z^2
Como y é constante e z=z(x,y), temos
partialpartial x(y,z) + partialpartial xl(x ln yr) = partialpartial x(z^2)

Passo 3

Calculamos cada derivada:
partialpartial x(y,z) = y,partial zpartial x, partialpartial xl(x ln yr) = ln y, partialpartial x(z^2) = 2z,partial zpartial x
Substituindo, fica
y,partial zpartial x + ln y = 2z,partial zpartial x

Passo 4

Colocamos os termos com partial zpartial x num lado:
y,partial zpartial x - 2z,partial zpartial x = -ln y Longrightarrow (y - 2z),partial zpartial x = -ln y
Isolando partial zpartial x,
partial zpartial x = -ln y,y - 2z, = ln y,2z - y,

Resposta

partial zpartial x = ln y2z - y

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