\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão Resolva o problema de valor de contorno utilizando a transformada de Laplace .
y^{\prime \prime}+k^{2} y=A_{0} \cos (w t) \quad y(0)=\alpha \quad y^{\prime}(0)=\beta

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor de contorno
y'' + k^2\,y = A_0\cos(\omega t),
com as condições iniciais y(0)=\alpha e y'(0)=\beta.
O conteúdo necessário inclui a transformada de Laplace de y'', de \cos(\omega t), manipulação algébrica em s e, por fim, a antitransformada para obter y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Seja Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}. Sabemos que
\mathcal L\{y''\} = s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0) \quad\text{e}\quad \mathcal L\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}.
Logo, transformando a EDO, obtemos
s^2\,Y(s) - s\,\alpha - \beta + k^2\,Y(s) = A_0\;\frac{s}{s^2 + \omega^2}.

Passo 3

Isolando Y(s), temos
(s^2 + k^2)\,Y(s) = s\,\alpha + \beta + A_0\;\frac{s}{s^2 + \omega^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{s\,\alpha + \beta}{s^2 + k^2} + A_0\,\frac{s}{(s^2 + k^2)(s^2 + \omega^2)}.

Passo 4

Para inverter a segunda parcela, fazemos decomposição em frações parciais. Observe que
\frac{s}{(s^2 + k^2)(s^2 + \omega^2)} = \frac{1}{k^2 - \omega^2}\Bigl(\frac{s}{s^2 + k^2} - \frac{s}{s^2 + \omega^2}\Bigr) \quad(\text{supondo }k\neq \omega).
Então
Y(s) = \frac{s\,\alpha + \beta}{s^2 + k^2} + \frac{A_0}{k^2 - \omega^2}\,\frac{s}{s^2 + k^2} - \frac{A_0}{k^2 - \omega^2}\,\frac{s}{s^2 + \omega^2}.

Passo 5

Agora aplicamos a antitransformada termo a termo, lembrando que
\mathcal L^{-1}\!\bigl\{\tfrac{s}{s^2 + a^2}\bigr\} = \cos(a t), \quad \mathcal L^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s^2 + a^2}\bigr\} = \tfrac{1}{a}\sin(a t).
Assim,
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s\,\alpha}{s^2 + k^2}\Bigr\} = \alpha\cos(k t), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{\beta}{s^2 + k^2}\Bigr\} = \frac{\beta}{k}\sin(k t),
e os termos da força externa dão
\frac{A_0}{k^2 - \omega^2}\,\cos(k t) - \frac{A_0}{k^2 - \omega^2}\,\cos(\omega t).
Somando tudo, chega-se à solução completa.

Resposta

y(t) = \alpha\cos(k t) + \frac{\beta}{k}\sin(k t) + \frac{A_0}{k^2 - \omega^2}\bigl[\cos(k t) - \cos(\omega t)\bigr],
válida para k\neq \omega.

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