[1] Resolva os itens abaixo.
a) Mostre que as equações diferenciais
\begin{gathered} 4 \frac{d i_{1}}{d t}+8 \frac{d}{d t}\left(i_{g}-i_{2}\right)+20\left(i_{1}-i_{2}\right)+5\left(i_{1}-i_{g}\right)=0 \\\\ 20\left(i_{2}-i_{1}\right)+60 i_{2}+16 \frac{d}{d t}\left(i_{2}-i_{g}\right)-8 \frac{d i_{1}}{d t}=0 \end{gathered}
podem ser rearranjadas da seguinte forma:
\begin{gathered} 4 \frac{d i_{1}}{d t}+25 i_{1}-8 \frac{d i_{2}}{d t}-20 i_{2}=5 i_{g}-8 \frac{d i_{g}}{d t} \\\\ -8 \frac{d i_{1}}{d t}-20 i_{1}+16 \frac{d i_{2}}{d t}+80 i_{2}=16 \frac{d i_{g}}{d t} \end{gathered}
b) Mostre que as soluções
\begin{aligned} & i_{1}=4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t} \mathrm{~A} \\\ & i_{2}=1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t} \mathrm{~A} \end{aligned}
satisfazem as equações diferenciais dadas na parte (a) deste problema.

Passo 1

O enunciado dá duas equações diferenciais envolvendo i_{1}(t), i_{2}(t) e i_{g}(t) e pede duas coisas:
  • (a) mostrar que as equações
\begin{gathered} 4 \frac{d i_{1}}{d t}+8 \frac{d}{d t}\left(i_{g}-i_{2}\right)+20\left(i_{1}-i_{2}\right)+5\left(i_{1}-i_{g}\right)=0 \\\\ 20\left(i_{2}-i_{1}\right)+60 i_{2}+16 \frac{d}{d t}\left(i_{2}-i_{g}\right)-8 \frac{d i_{1}}{d t}=0 \end{gathered}
podem ser rearranjadas para
\begin{gathered} 4 \frac{d i_{1}}{d t}+25 i_{1}-8 \frac{d i_{2}}{d t}-20 i_{2}=5 i_{g}-8 \frac{d i_{g}}{d t} \\\\ -8 \frac{d i_{1}}{d t}-20 i_{1}+16 \frac{d i_{2}}{d t}+80 i_{2}=16 \frac{d i_{g}}{d t} \end{gathered}
  • (b) mostrar que as funções
\begin{aligned} & i_{1}(t)=4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t} \\\ & i_{2}(t)=1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t} \end{aligned}
satisfazem as equações do item (a).
As informações relevantes: as duas equações iniciais (com termos de derivada compostos) e as expressões de i_{1}(t) e i_{2}(t) fornecidas.

Passo 2

Rearranjar a primeira equação passo a passo. Começar por expandir as derivadas e os parênteses na primeira equação:
4 \frac{d i_{1}}{d t}+8\frac{d}{d t}\big(i_{g}-i_{2}\big)+20\big(i_{1}-i_{2}\big)+5\big(i_{1}-i_{g}\big)=0.
Expandir cada termo:
8\frac{d}{d t}\big(i_{g}-i_{2}\big)=8\frac{d i_{g}}{d t}-8\frac{d i_{2}}{d t},
20\big(i_{1}-i_{2}\big)=20 i_{1}-20 i_{2},
5\big(i_{1}-i_{g}\big)=5 i_{1}-5 i_{g}.
Substituindo esses resultados na equação inicial obtemos
4\frac{d i_{1}}{d t}+8\frac{d i_{g}}{d t}-8\frac{d i_{2}}{d t}+20 i_{1}-20 i_{2}+5 i_{1}-5 i_{g}=0.
Agrupando termos semelhantes de i_{1} e i_{2}:
4\frac{d i_{1}}{d t}-8\frac{d i_{2}}{d t}+8\frac{d i_{g}}{d t}+25 i_{1}-20 i_{2}-5 i_{g}=0.
Agora isolar os termos que envolvem i_{g} no lado direito da igualdade (procedimento algébrico habitual): somando 5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t} em ambos os lados obtemos
4\frac{d i_{1}}{d t}-8\frac{d i_{2}}{d t}+25 i_{1}-20 i_{2}=5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t},
que coincide com a primeira equação rearranjada desejada.

Passo 3

Rearranjar a segunda equação passo a passo. A segunda equação dada é
20\big(i_{2}-i_{1}\big)+60 i_{2}+16\frac{d}{d t}\big(i_{2}-i_{g}\big)-8\frac{d i_{1}}{d t}=0.
Expandir os parênteses e a derivada composta:
20\big(i_{2}-i_{1}\big)=20 i_{2}-20 i_{1},
16\frac{d}{d t}\big(i_{2}-i_{g}\big)=16\frac{d i_{2}}{d t}-16\frac{d i_{g}}{d t}.
Substituindo:
20 i_{2}-20 i_{1}+60 i_{2}+16\frac{d i_{2}}{d t}-16\frac{d i_{g}}{d t}-8\frac{d i_{1}}{d t}=0.
Agrupando termos semelhantes (colocando termos com derivadas de i_{1} e i_{2} primeiro):
-8\frac{d i_{1}}{d t}+16\frac{d i_{2}}{d t}-16\frac{d i_{g}}{d t}-20 i_{1}+80 i_{2}=0.
Agora isolar o termo com \frac{d i_{g}}{d t} no lado direito, somando 16\frac{d i_{g}}{d t} em ambos os lados:
-8\frac{d i_{1}}{d t}+16\frac{d i_{2}}{d t}-20 i_{1}+80 i_{2}=16\frac{d i_{g}}{d t},
que é exatamente a segunda equação rearranjada desejada.

Passo 4

Preparar a verificação da parte (b): calcular as derivadas de i_{1}(t) e i_{2}(t). As funções são
i_{1}(t)=4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t},
i_{2}(t)=1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t}.
Derivando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dt}\big(A e^{\alpha t}\big)=A\alpha e^{\alpha t}):
\frac{d i_{1}}{d t}=64\cdot(-5)e^{-5 t}-68\cdot(-4)e^{-4 t}=-320 e^{-5 t}+272 e^{-4 t},
\frac{d i_{2}}{d t}=-52\cdot(-5)e^{-5 t}+51\cdot(-4)e^{-4 t}=260 e^{-5 t}-204 e^{-4 t}.

Passo 5

Substituir i_{1}, i_{2} e suas derivadas na primeira equação rearranjada
4\frac{d i_{1}}{d t}+25 i_{1}-8\frac{d i_{2}}{d t}-20 i_{2}=5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t}.
Calcular o lado esquerdo (LHS) com os termos substituídos. Fazer cada parcela separadamente:
  1. 4\frac{d i_{1}}{d t}=4\big(-320 e^{-5 t}+272 e^{-4 t}\big)=-1280 e^{-5 t}+1088 e^{-4 t}.
  2. 25 i_{1}=25\big(4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t}\big)=100+1600 e^{-5 t}-1700 e^{-4 t}.
  3. -8\frac{d i_{2}}{d t}=-8\big(260 e^{-5 t}-204 e^{-4 t}\big)=-2080 e^{-5 t}+1632 e^{-4 t}.
  4. -20 i_{2}=-20\big(1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t}\big)=-20+1040 e^{-5 t}-1020 e^{-4 t}.
Somando (1)+(2)+(3)+(4):
  • Termos constantes: 100-20=80.
  • Coeficiente de e^{-5t}: -1280+1600-2080+1040 = -720.
  • Coeficiente de e^{-4t}: 1088-1700+1632-1020 = 0.
Portanto o LHS fica
\text{LHS}=80-720 e^{-5 t}.
Pelo lado direito (RHS) da equação rearranjada temos 5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t}. Logo, para que a igualdade seja satisfeita é necessário que
5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t}=80-720 e^{-5 t}.
(Anotação: essa é uma equação diferencial de primeira ordem para i_{g}(t), que será usada em conjunto com a segunda equação para determinar i_{g}.)

Passo 6

Substituir i_{1}, i_{2} e suas derivadas na segunda equação rearranjada
-8\frac{d i_{1}}{d t}-20 i_{1}+16\frac{d i_{2}}{d t}+80 i_{2}=16\frac{d i_{g}}{d t}.
Calcular o lado esquerdo (LHS) com os termos substituídos, novamente parcela a parcela:
  1. -8\frac{d i_{1}}{d t}=-8\big(-320 e^{-5 t}+272 e^{-4 t}\big)=2560 e^{-5 t}-2176 e^{-4 t}.
  2. -20 i_{1}=-20\big(4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t}\big)=-80-1280 e^{-5 t}+1360 e^{-4 t}.
  3. 16\frac{d i_{2}}{d t}=16\big(260 e^{-5 t}-204 e^{-4 t}\big)=4160 e^{-5 t}-3264 e^{-4 t}.
  4. 80 i_{2}=80\big(1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t}\big)=80-4160 e^{-5 t}+4080 e^{-4 t}.
Somando (1)+(2)+(3)+(4):
  • Termos constantes: -80+80=0.
  • Coeficiente de e^{-5t}: 2560-1280+4160-4160 = 1280.
  • Coeficiente de e^{-4t}: -2176+1360-3264+4080 = 0.
Portanto o LHS fica
\text{LHS}=1280 e^{-5 t}.
Pela equação, isso deve ser igual a 16\frac{d i_{g}}{d t}. Assim
16\frac{d i_{g}}{d t}=1280 e^{-5 t}.
Isolando \dfrac{d i_{g}}{d t}:
\frac{d i_{g}}{d t}=80 e^{-5 t}.

Passo 7

Integrar a expressão para \dfrac{d i_{g}}{d t} para obter i_{g}(t). Integramos termo a termo:
\frac{d i_{g}}{d t}=80 e^{-5 t}\quad\Longrightarrow\quad i_{g}(t)=\int 80 e^{-5 t}\,dt=80\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)e^{-5 t}+C=-16 e^{-5 t}+C,
onde C é constante de integração. Para determinar C usamos o comportamento em regime estacionário ( t\to\infty): como e^{-5t}\to 0, dos limites das expressões dadas obtemos i_{1}(\infty)=4 e i_{2}(\infty)=1. Substituindo esses valores nas equações originais com todas as derivadas nulas (regime DC) permite obter i_{g}(\infty). Usando a primeira equação com derivadas zero:
20(i_{1}-i_{2})+5(i_{1}-i_{g})=0.
Substituindo i_{1}=4 e i_{2}=1:
20(4-1)+5(4-i_{g})=0 \;\Longrightarrow\;60+20-5 i_{g}=0\;\Longrightarrow\;80-5 i_{g}=0\;\Longrightarrow\;i_{g}(\infty)=16.
Assim C=i_{g}(\infty)=16. Portanto
i_{g}(t)=16-16 e^{-5 t}=16\big(1-e^{-5 t}\big).

Passo 8

Verificar consistência final: com i_{g}(t)=16-16 e^{-5 t} temos \dfrac{d i_{g}}{d t}=80 e^{-5 t}. Substituindo esses valores no RHS da primeira equação rearranjada obtemos
5 i_{g}-8\frac{d i_{g}}{d t}=5\big(16-16 e^{-5 t}\big)-8\big(80 e^{-5 t}\big)=80-80 e^{-5 t}-640 e^{-5 t}=80-720 e^{-5 t},
que coincide com o LHS calculado no Passo 5. No Passo 6 já vimos que a segunda equação também é satisfeita (pois daí veio \dfrac{d i_{g}}{d t}=80 e^{-5 t}). Portanto as funções i_{1}(t) e i_{2}(t) dadas satisfazem ambas as equações rearranjadas do item (a), com i_{g}(t)=16\big(1-e^{-5 t}\big).

Resposta

\displaystyle 4 \frac{d i_{1}}{d t}+25 i_{1}-8 \frac{d i_{2}}{d t}-20 i_{2}=5 i_{g}-8 \frac{d i_{g}}{d t}\quad\text{e}\quad -8 \frac{d i_{1}}{d t}-20 i_{1}+16 \frac{d i_{2}}{d t}+80 i_{2}=16 \frac{d i_{g}}{d t}\n
As funções i_{1}(t)=4+64 e^{-5 t}-68 e^{-4 t} e i_{2}(t)=1-52 e^{-5 t}+51 e^{-4 t} satisfazem essas equações com i_{g}(t)=16\big(1-e^{-5 t}\big).

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