[1] Resolva os itens abaixo.
a) Mostre que as equações diferenciais
podem ser rearranjadas da seguinte forma:
b) Mostre que as soluções
satisfazem as equações diferenciais dadas na parte (a) deste problema.
a) Mostre que as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado dá duas equações diferenciais envolvendo
,
e
e pede duas coisas:
- (a) mostrar que as equações
podem ser rearranjadas para
- (b) mostrar que as funções
satisfazem as equações do item (a).
As informações relevantes: as duas equações iniciais (com termos de derivada compostos) e as expressões de e
fornecidas.
As informações relevantes: as duas equações iniciais (com termos de derivada compostos) e as expressões de
Passo 2
Rearranjar a primeira equação passo a passo. Começar por expandir as derivadas e os parênteses na primeira equação:
Expandir cada termo:
Substituindo esses resultados na equação inicial obtemos
Agrupando termos semelhantes de
e
:
Agora isolar os termos que envolvem
no lado direito da igualdade (procedimento algébrico habitual): somando
em ambos os lados obtemos
que coincide com a primeira equação rearranjada desejada.
Passo 3
Rearranjar a segunda equação passo a passo. A segunda equação dada é
Expandir os parênteses e a derivada composta:
Substituindo:
Agrupando termos semelhantes (colocando termos com derivadas de
e
primeiro):
Agora isolar o termo com
no lado direito, somando
em ambos os lados:
que é exatamente a segunda equação rearranjada desejada.
Passo 4
Preparar a verificação da parte (b): calcular as derivadas de
e
. As funções são
Derivando termo a termo (regra:
):
Passo 5
Substituir
,
e suas derivadas na primeira equação rearranjada
Calcular o lado esquerdo (LHS) com os termos substituídos. Fazer cada parcela separadamente:
Somando (1)+(2)+(3)+(4):
- Termos constantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Portanto o LHS fica
Pelo lado direito (RHS) da equação rearranjada temos
. Logo, para que a igualdade seja satisfeita é necessário que
(Anotação: essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
, que será usada em conjunto com a segunda equação para determinar
.)
Passo 6
Substituir
,
e suas derivadas na segunda equação rearranjada
Calcular o lado esquerdo (LHS) com os termos substituídos, novamente parcela a parcela:
Somando (1)+(2)+(3)+(4):
- Termos constantes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Portanto o LHS fica
Pela equação, isso deve ser igual a
. Assim
Isolando
:
Passo 7
Integrar a expressão para
para obter
. Integramos termo a termo:
onde
é constante de integração. Para determinar
usamos o comportamento em regime estacionário (
): como
, dos limites das expressões dadas obtemos
e
. Substituindo esses valores nas equações originais com todas as derivadas nulas (regime DC) permite obter
. Usando a primeira equação com derivadas zero:
Substituindo
e
:
Assim
. Portanto
Passo 8
Verificar consistência final: com
temos
. Substituindo esses valores no RHS da primeira equação rearranjada obtemos
que coincide com o LHS calculado no Passo 5. No Passo 6 já vimos que a segunda equação também é satisfeita (pois daí veio
). Portanto as funções
e
dadas satisfazem ambas as equações rearranjadas do item (a), com
.
Resposta
As funções