Defina matematicamente e interprete conceitualmente a elasticidade-preço, elasticidade-preço cruzada e elasticidade-renda.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente as definições matemáticas e interpretações conceituais de três tipos de elasticidade em economia: elasticidade-preço da demanda, elasticidade-preço cruzada e elasticidade-renda. Para isso, vamos usar cálculo diferencial básico (derivadas) e o conceito de variação percentual.

Passo 2

Elasticidade-preço da demanda
Definimos a elasticidade-preço de uma variável quantidade demandada q em relação ao seu preço próprio p como
\varepsilon_{p} \;=\;\frac{\partial q}{\partial p}\,\frac{p}{q}.
Conceitualmente, \varepsilon_{p} mede a sensibilidade percentual de q a uma variação de 1\% em p. Se \varepsilon_{p}<-1, dizemos que a demanda é elástica (quantidade muito sensível ao preço); se -1<\varepsilon_{p}<0, é inelástica; se \varepsilon_{p}=-1, é unitária.

Passo 3

Elasticidade-preço cruzada
Para dois bens x e y, a elasticidade-preço cruzada da demanda de x em relação ao preço de y é
\varepsilon_{xy} \;=\;\frac{\partial q_x}{\partial p_y}\,\frac{p_y}{q_x}.
Ela indica a variação percentual de q_x quando o preço p_y varia 1\%. Se \varepsilon_{xy}>0, os bens são substitutos (um sobe quando o outro sobe); se \varepsilon_{xy}<0, são complementares.

Passo 4

Elasticidade-renda da demanda
A elasticidade-renda relaciona a variação percentual da quantidade demandada q com a variação percentual da renda I:
\varepsilon_{I} \;=\;\frac{\partial q}{\partial I}\,\frac{I}{q}.
Conceitualmente, ela mostra o quanto q muda quando I varia 1\%. Se \varepsilon_{I}>0, o bem é normal (mais renda aumenta demanda); se \varepsilon_{I}<0, é inferior; valores acima de 1 indicam bens de luxo.

Resposta

Elasticidade-preço da demanda:
\varepsilon_{p} = \frac{\partial q}{\partial p}\,\frac{p}{q},
mede a sensibilidade percentual de q a p.
Elasticidade-preço cruzada:
\varepsilon_{xy} = \frac{\partial q_x}{\partial p_y}\,\frac{p_y}{q_x},
mede a sensibilidade de q_x a variações em p_y, indicando substitutos \varepsilon_{xy}>0 ou complementos \varepsilon_{xy}<0.
Elasticidade-renda da demanda:
\varepsilon_{I} = \frac{\partial q}{\partial I}\,\frac{I}{q},
mede a resposta de q a mudanças na renda I, distinguindo bens normais \varepsilon_{I}>0 de inferiores \varepsilon_{I}<0 e de luxo \varepsilon_{I}>1.

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