[3.] Resolva a EDO não linear homogênea
y^{\prime}=\frac{y^{2}-x^{2}}{2 x y} \quad \text { para } \quad x y \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y'=\frac{y^{2}-x^{2}}{2xy}\quad\text{para}\quad xy\neq0.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) (ou uma solução implícita) válida onde a equação está definida (ou seja, x\neq0 e y\neq0 nos pontos em que a fórmula é usada). Informações relevantes dadas:
  • A derivada y' é dada em termos de x e y.
  • O domínio exige x\neq0 e y\neq0 para que o lado direito esteja bem definido.
  • Não há condição inicial fornecida, então vamos buscar a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre a forma da equação (por que isso é útil).
  • Note que os termos no numerador e no denominador são homogêneos do mesmo grau: y^{2} e x^{2} têm grau 2; 2xy também tem grau 2. Quando a razão à direita depende apenas da razão y/x (ou seja, é uma função homogênea de x,y de grau zero), é natural usar a substituição
y = v x,
onde v=v(x) representa y/x. Essa substituição transforma a EDO em uma que geralmente é separável ou mais simples. Vou usar essa substituição.

Passo 3

Expressar y' em termos de v e dv/dx.
  • Se y=vx então, por diferenciação (produto),
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Esta fórmula vem de derivar y=v(x)\,x: derivada de v vezes x mais v vezes derivada de x.

Passo 4

Substituir y=vx e y' na equação dada e simplificar.
  • Primeiro calcule o lado direito em função de v:
\frac{y^{2}-x^{2}}{2xy}=\frac{(v x)^{2}-x^{2}}{2x(v x)}=\frac{x^{2}(v^{2}-1)}{2v x^{2}}=\frac{v^{2}-1}{2v}.
  • Igualando com a expressão de y':
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-1}{2v}.
  • Isolando x\frac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-1}{2v}-v.
  • Colocar no mesmo denominador:
\frac{v^{2}-1}{2v}-v=\frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2v}=\frac{-(v^{2}+1)}{2v}.
  • Portanto obtemos a EDO para v:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v^{2}+1}{2v}.

Passo 5

Separar variáveis e integrar.
  • Reescrevendo para separar v e x:
\frac{2v}{v^{2}+1}\,dv=-\frac{dx}{x}.
  • Agora integramos ambos os lados. À esquerda, note que a derivada de v^{2}+1 é 2v, então a integral é imediata:
\int \frac{2v}{v^{2}+1}\,dv=\ln\big(v^{2}+1\big)+C_1.
  • À direita:
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C_2.
  • Juntando constantes (colocando C=C_2-C_1 ou invertendo o sinal conforme conveniente), obtemos
\ln\big(v^{2}+1\big)=-\ln|x|+C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Resolver a equação logarítmica e simplificar a constante.
  • Usando propriedades de logaritmos:
\ln\big(v^{2}+1\big)+\ln|x|=C\quad\Rightarrow\quad \ln\big(|x|\,(v^{2}+1)\big)=C.
  • Exponenciando:
|x|\,(v^{2}+1)=C_0,
onde C_0=e^{C}>0. Podemos substituir C_0 por uma constante arbitrária C (permitindo sinal ao absorver o valor absoluto), e, como normalmente na solução geral de EDOs, é comum escrever a constante sem o módulo e admitir que ela pode ser qualquer número não nulo. Assim, para simplicidade escrita, tomamos
x\,(v^{2}+1)=C,
com a lembrança de que isso é válido para x\neq0 e que C é uma constante real arbitrária (podendo ser negativa, positiva ou zero — o caso C=0 também será consistente).

Passo 7

Voltar à variável original y (substituir v=y/x).
  • Substituindo v=\dfrac{y}{x} em x (v^{2}+1)=C:
x\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+1\right)=C.
  • Simplificando:
x\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}+1\right)=x\left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)=\frac{y^{2}+x^{2}}{x}=C.
  • Multiplicando por x (lembrando x\neq0):
y^{2}+x^{2}=C x.
Essa é a forma implícita mais simples da solução geral.

Passo 8

Observações finais, forma explícita e domínio.
  • A solução implícita geral é
y^{2}+x^{2}=C x,
onde C é constante arbitrária e a solução vale para x\neq0 (e naturalmente para y tal que denominador original não seja zero no uso da fórmula).
  • Se desejar a forma explícita para y:
y=\pm\sqrt{C x - x^{2}}.
Nessa forma, o domínio real exige C x - x^{2}\ge0, ou seja x(C-x)\ge0; isso determina intervalos de x dependendo do sinal e valor de C.
  • Verificação rápida: diferenciando implicitamente y^{2}+x^{2}=Cx e resolvendo para y' recupera a equação original (pode ser feito como checagem).

Resposta

y^{2}+x^{2}=C x

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