[3.] Resolva a EDO não linear homogênea
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral
(ou uma solução implícita) válida onde a equação está definida (ou seja,
e
nos pontos em que a fórmula é usada). Informações relevantes dadas:
- A derivada
é dada em termos de e . - O domínio exige
e para que o lado direito esteja bem definido. - Não há condição inicial fornecida, então vamos buscar a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre a forma da equação (por que isso é útil).
- Note que os termos no numerador e no denominador são homogêneos do mesmo grau:
e têm grau ; também tem grau . Quando a razão à direita depende apenas da razão (ou seja, é uma função homogênea de de grau zero), é natural usar a substituição
onde
representa
. Essa substituição transforma a EDO em uma que geralmente é separável ou mais simples. Vou usar essa substituição.
Passo 3
Expressar
em termos de
e
.
- Se
então, por diferenciação (produto),
Esta fórmula vem de derivar
: derivada de
vezes
mais
vezes derivada de
.
Passo 4
Substituir
e
na equação dada e simplificar.
- Primeiro calcule o lado direito em função de
:
- Igualando com a expressão de
:
- Isolando
:
- Colocar no mesmo denominador:
- Portanto obtemos a EDO para
:
Passo 5
Separar variáveis e integrar.
- Reescrevendo para separar
e :
- Agora integramos ambos os lados. À esquerda, note que a derivada de
é , então a integral é imediata:
- À direita:
- Juntando constantes (colocando
ou invertendo o sinal conforme conveniente), obtemos
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Resolver a equação logarítmica e simplificar a constante.
- Usando propriedades de logaritmos:
- Exponenciando:
onde
. Podemos substituir
por uma constante arbitrária
(permitindo sinal ao absorver o valor absoluto), e, como normalmente na solução geral de EDOs, é comum escrever a constante sem o módulo e admitir que ela pode ser qualquer número não nulo. Assim, para simplicidade escrita, tomamos
com a lembrança de que isso é válido para
e que
é uma constante real arbitrária (podendo ser negativa, positiva ou zero — o caso
também será consistente).
Passo 7
Voltar à variável original
(substituir
).
- Substituindo
em :
- Simplificando:
- Multiplicando por
(lembrando ):
Essa é a forma implícita mais simples da solução geral.
Passo 8
Observações finais, forma explícita e domínio.
- A solução implícita geral é
onde
é constante arbitrária e a solução vale para
(e naturalmente para
tal que denominador original não seja zero no uso da fórmula).
- Se desejar a forma explícita para
:
Nessa forma, o domínio real exige
, ou seja
; isso determina intervalos de
dependendo do sinal e valor de
.
- Verificação rápida: diferenciando implicitamente
e resolvendo para recupera a equação original (pode ser feito como checagem).