Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes das diferenciais são funções homogêneas de grau
em e (ou seja, cada termo é proporcional a , ou ). - Queremos a família geral de soluções (constante arbitrária) — além de verificar soluções singulares que possam surgir ao dividir por expressões que podem ser zero.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando os coeficientes de
e
são homogêneos do mesmo grau, é conveniente usar a substituição
onde
é uma função de
. Essa substituição transforma a equação em uma equação entre
e
que costuma ser separável. Aqui explico por que:
- Se
, então (derivada do produto). - Substituindo
por todos os termos ficam fatorados por potências de , o que permite simplificar e separar variáveis.
Observação importante antes de substituir: a substituição
assume que
. O caso
deve ser tratado separadamente como possível solução singular.
Passo 3
Faço a substituição
e
. Primeiro calcule os coeficientes substituídos:
Agora substituo na equação original:
Distribuindo o segundo termo:
Agrupando os termos em
:
Simplificando a soma dentro do parêntese:
logo
Passo 4
Divido toda a equação por
(aqui uso que
):
Reescrevo para separar variáveis — quero isolar termos em
de um lado e termos em
do outro:
Agora integro ambos os lados. Integração do lado esquerdo:
Integração do lado direito (lembrando que
):
Juntando as integrais (absorvendo constantes numa só constante
):
Passo 5
Transformo a relação logarítmica em forma algébrica:
Exponenciando:
onde
é constante arbitrária. Podemos eliminar o valor absoluto absorvendo o sinal na constante arbitrária, então escrevo
com
arbitrário (podendo ser qualquer constante real, incluindo
).
Agora volto à variável original usando
:
Calculo o termo dentro do parêntese:
Multiplicando por
:
Multiplico ambos os lados por
(novamente pensando em
) e obtenho a solução implícita simples:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Não esquecer o caso que excluímos:
. Verifico se
é solução da equação original. Se
então
e a equação fica
, que é verdadeira identicamente. Logo
é uma solução singular (a reta vertical
) que não aparece na família obtida ao dividir por
.
Portanto a solução geral (implícita) e a solução singular são:
- família geral:
, com constante arbitrária; - solução singular:
.