Cada EDO dada tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso;
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-y^{2}\right)dx+2xy\,dy=0
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes das diferenciais são funções homogêneas de grau 2 em x e y (ou seja, cada termo é proporcional a x^{2}, xy ou y^{2}).
  • Queremos a família geral de soluções (constante arbitrária) — além de verificar soluções singulares que possam surgir ao dividir por expressões que podem ser zero.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando os coeficientes de dx e dy são homogêneos do mesmo grau, é conveniente usar a substituição
y = v x,
onde v é uma função de x. Essa substituição transforma a equação em uma equação entre x e v que costuma ser separável. Aqui explico por que:
  • Se y=vx, então dy = v\,dx + x\,dv (derivada do produto).
  • Substituindo y por vx todos os termos ficam fatorados por potências de x, o que permite simplificar e separar variáveis.
Observação importante antes de substituir: a substituição y=vx assume que x\neq0. O caso x=0 deve ser tratado separadamente como possível solução singular.

Passo 3

Faço a substituição y=vx e dy=v\,dx+x\,dv. Primeiro calcule os coeficientes substituídos:
x^{2}-y^{2}=x^{2}-v^{2}x^{2}=x^{2}(1-v^{2}),
2xy=2x(vx)=2v x^{2}.
Agora substituo na equação original:
x^{2}(1-v^{2})\,dx + 2v x^{2}\big(v\,dx + x\,dv\big)=0.
Distribuindo o segundo termo:
x^{2}(1-v^{2})\,dx + 2v^{2} x^{2}\,dx + 2v x^{3}\,dv=0.
Agrupando os termos em dx:
x^{2}\big((1-v^{2})+2v^{2}\big)\,dx + 2v x^{3}\,dv=0.
Simplificando a soma dentro do parêntese:
(1-v^{2})+2v^{2}=1+v^{2},
logo
x^{2}(1+v^{2})\,dx + 2v x^{3}\,dv=0.

Passo 4

Divido toda a equação por x^{2} (aqui uso que x\neq0):
(1+v^{2})\,dx + 2v x\,dv=0.
Reescrevo para separar variáveis — quero isolar termos em x de um lado e termos em v do outro:
\frac{dx}{x} = -\frac{2v}{1+v^{2}}\,dv.
Agora integro ambos os lados. Integração do lado esquerdo:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1.
Integração do lado direito (lembrando que \dfrac{d}{dv}\big(\ln(1+v^{2})\big)=\dfrac{2v}{1+v^{2}}):
\int -\frac{2v}{1+v^{2}}\,dv = -\ln(1+v^{2}) + C_2.
Juntando as integrais (absorvendo constantes numa só constante C):
\ln|x| = -\ln(1+v^{2}) + C.

Passo 5

Transformo a relação logarítmica em forma algébrica:
\ln|x| + \ln(1+v^{2}) = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\big(|x|(1+v^{2})\big)=C.
Exponenciando:
|x|(1+v^{2})=C',
onde C'>0 é constante arbitrária. Podemos eliminar o valor absoluto absorvendo o sinal na constante arbitrária, então escrevo
x(1+v^{2})=C,
com C arbitrário (podendo ser qualquer constante real, incluindo 0).
Agora volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}:
x\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right)=C.
Calculo o termo dentro do parêntese:
1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}.
Multiplicando por x:
x\cdot\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x}=C.
Multiplico ambos os lados por x (novamente pensando em x\neq0) e obtenho a solução implícita simples:
x^{2}+y^{2}=C x,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Não esquecer o caso que excluímos: x=0. Verifico se x\equiv0 é solução da equação original. Se x=0 então dx=0 e a equação fica (-y^{2})\cdot 0 + 0\cdot dy = 0, que é verdadeira identicamente. Logo x=0 é uma solução singular (a reta vertical x=0) que não aparece na família obtida ao dividir por x.
Portanto a solução geral (implícita) e a solução singular são:
  • família geral: x^{2}+y^{2}=C x, com C constante arbitrária;
  • solução singular: x=0.

Resposta

x^{2}+y^{2}=C x
x=0

Exercícios relacionados