10/06
Dados os vetores
e
, achar o valor de
em cada um dos seguintes casos:
(a) A norma de
é igual à norma de
.
Dados os vetores
(a) A norma de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: $ u = (2, -1, 1) $, $ v = (1, 2, -3) $ e $ w = (-3, a, 5) $. A questão pede para achar o valor de $ a $ de modo que a norma de $ u - v $ seja igual à norma de $ 3w $. Vamos usar o conceito de norma de vetores e operações básicas com vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, ou módulo, de um vetor $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) $ é dada por:
Essa fórmula nos dá a “magnitude” do vetor no espaço tridimensional.
Passo 3
Vamos calcular $ u - v $. Subtraindo os componentes de $ v $ dos componentes de $ u $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma de $ u - v $ usando a fórmula da norma:
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular $ 3w $. Multiplicando cada componente de $ w $ por 3:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma de $ 3w $:
Passo 7
Segundo a condição do problema, a norma de $ u - v $ é igual à norma de $ 3w $. Então, igualamos as duas expressões:
Passo 8
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 9
Agora, vamos isolar $ 9a^2 $:
Passo 10
Dividindo ambos os lados por 9 para encontrar $ a^2 $:
Resposta
Como $ a^2 $ resulta em um número negativo ($ \frac{-280}{9} $), não existe um número real $ a $ que satisfaça a condição dada. Portanto, não há valor real de $ a $ que torna a norma de $ u - v $ igual à norma de $ 3w $.