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Dados os vetores u=(2,-1,1), v=(1,2,-3) e w=(-3, a, 5), achar o valor de a in R em cada um dos seguintes casos:
(a) A norma de u-v é igual à norma de 3 w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: $ u = (2, -1, 1) $, $ v = (1, 2, -3) $ e $ w = (-3, a, 5) $. A questão pede para achar o valor de $ a $ de modo que a norma de $ u - v $ seja igual à norma de $ 3w $. Vamos usar o conceito de norma de vetores e operações básicas com vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a norma de um vetor. A norma, ou módulo, de um vetor $ \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) $ é dada por:
x = (x1, x2, x3)
Essa fórmula nos dá a “magnitude” do vetor no espaço tridimensional.

Passo 3

Vamos calcular $ u - v $. Subtraindo os componentes de $ v $ dos componentes de $ u $:
u - v

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de $ u - v $ usando a fórmula da norma:
u - v

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular $ 3w $. Multiplicando cada componente de $ w $ por 3:
3w

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma de $ 3w $:
3w

Passo 7

Segundo a condição do problema, a norma de $ u - v $ é igual à norma de $ 3w $. Então, igualamos as duas expressões:
u - v

Passo 8

Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
26 = 306 + 9a^2

Passo 9

Agora, vamos isolar $ 9a^2 $:
9a^2

Passo 10

Dividindo ambos os lados por 9 para encontrar $ a^2 $:
a^2

Resposta

Como $ a^2 $ resulta em um número negativo ($ \frac{-280}{9} $), não existe um número real $ a $ que satisfaça a condição dada. Portanto, não há valor real de $ a $ que torna a norma de $ u - v $ igual à norma de $ 3w $.

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