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Considerar os pontos A=(1,-1,1), B=(0,-1,2), C=(2,0,1) e D= (1,-2,2) no espaço. Mostrar que A, B, C não são colineares e calcular a área do triângulo determinado por A, B, C. Mostrar que A, B, C, D não são coplanares e calcular a distância de D ao plano que contém A, B, C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: $ A=(1,-1,1) $, $ B=(0,-1,2) $, $ C=(2,0,1) $ e $ D=(1,-2,2) $. Precisamos:
  1. Mostrar que os pontos $ A, B, C $ não são colineares (ou seja, não estão todos em uma única linha reta).
  2. Calcular a área do triângulo formado por esses três pontos.
  3. Demonstrar que os quatro pontos $ A, B, C, D $ não são coplanares (não estão todos no mesmo plano).
  4. Calcular a distância do ponto $ D $ até o plano que contém $ A, B, C $.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de vetores, geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Verificando se os pontos $ A, B, C $ são colineares:
Para saber se três pontos estão na mesma linha, verificamos se os vetores formados por eles são paralelos.
Vamos encontrar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
A, B, C
AB
Se $ \vec{AB} $ for múltiplo de $ \vec{AC} $, os pontos são colineares. Vamos verificar:
AC ãé
Como não há um escalar constante que multiplique $ \vec{AC} $ para obter $ \vec{AB} $, os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos $ A, B, C $ não são colineares.

Passo 3

Calculando a área do triângulo $ ABC $:
A área de um triângulo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial. A fórmula é:
ABC Á
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Área = 12 | AB times AC |
AB times AC
AB = (-1, 0, 1)
AC = (1, 1, 0)
AB times AC = i & j & k -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 = i(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(-1 cdot 0 - 1 cdot 1) + k(-1 cdot 1 - 0 cdot 1)
Agora, calculamos a norma desse vetor:
= i(-1) - j(-1) + k(-1)
Portanto, a área do triângulo é:
= (-1, 1, -1) Á

Passo 4

Verificando se os pontos $ A, B, C, D $ são coplanares:
Quatro pontos estão no mesmo plano se o volume do paralelepípedo formado por três vetores quaisquer é zero. Ou seja, se o produto misto dos vetores for zero.
Vamos usar os vetores $ \vec{AB}, \vec{AC} $ e $ \vec{AD} $:
A, B, C, D
AB, AC
AD
O produto misto é dado por:
AB = (-1, 0, 1)
Primeiro, calculamos $ \vec{AC} \times \vec{AD} $:
AC = (1, 1, 0)
AD = D - A = (1-1, -2-(-1), 2-1) = (0, -1, 1)
AB cdot (AC times AD)
Agora, calculamos o produto escalar:
AC times AD
Como o resultado não é zero ($ -2 \neq 0 $), os pontos não são coplanares.

Passo 5

Calculando a distância do ponto $ D $ ao plano que contém $ A, B, C $:
A distância de um ponto $ D(x_0, y_0, z_0) $ ao plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é dada por:
D â
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano que contém os pontos $ A, B, C $.
Para isso, usamos o vetor normal ao plano, que é o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Já calculamos anteriormente:
A, B, C
Portanto, a equação do plano tem a forma:
D(x0, y0, z0)
Usando $ A = (1, -1, 1) $:
Ax + By + Cz + D = 0
Distância = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
A, B, C
Agora, a equação do plano é $ x - y + z - 3 = 0 $.
Aplicando a fórmula da distância para o ponto $ D = (1, -2, 2) $:
AB times AC â

Resposta

Os pontos $ A, B, C $ não são colineares. A área do triângulo formado por $ A, B, C $ é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Os pontos $ A, B, C, D $ não são coplanares. A distância do ponto $ D $ ao plano que contém $ A, B, C $ é $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.

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