12/06
Considerar os pontos
e
no espaço. Mostrar que
não são colineares e calcular a área do triângulo determinado por
. Mostrar que
não são coplanares e calcular a distância de
ao plano que contém
.
Considerar os pontos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: $ A=(1,-1,1) $, $ B=(0,-1,2) $, $ C=(2,0,1) $ e $ D=(1,-2,2) $. Precisamos:
- Mostrar que os pontos $ A, B, C $ não são colineares (ou seja, não estão todos em uma única linha reta).
- Calcular a área do triângulo formado por esses três pontos.
- Demonstrar que os quatro pontos $ A, B, C, D $ não são coplanares (não estão todos no mesmo plano).
- Calcular a distância do ponto $ D $ até o plano que contém $ A, B, C $.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de vetores, geometria analítica e álgebra vetorial.
Passo 2
Verificando se os pontos $ A, B, C $ são colineares:
Para saber se três pontos estão na mesma linha, verificamos se os vetores formados por eles são paralelos.
Vamos encontrar os vetores $ \vec{AB} $ e $ \vec{AC} $:
Se $ \vec{AB} $ for múltiplo de $ \vec{AC} $, os pontos são colineares. Vamos verificar:
Como não há um escalar constante que multiplique $ \vec{AC} $ para obter $ \vec{AB} $, os vetores não são paralelos. Portanto, os pontos $ A, B, C $ não são colineares.
Passo 3
Calculando a área do triângulo $ ABC $:
A área de um triângulo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial. A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Portanto, a área do triângulo é:
Passo 4
Verificando se os pontos $ A, B, C, D $ são coplanares:
Quatro pontos estão no mesmo plano se o volume do paralelepípedo formado por três vetores quaisquer é zero. Ou seja, se o produto misto dos vetores for zero.
Vamos usar os vetores $ \vec{AB}, \vec{AC} $ e $ \vec{AD} $:
O produto misto é dado por:
Primeiro, calculamos $ \vec{AC} \times \vec{AD} $:
Agora, calculamos o produto escalar:
Como o resultado não é zero ($ -2 \neq 0 $), os pontos não são coplanares.
Passo 5
Calculando a distância do ponto $ D $ ao plano que contém $ A, B, C $:
A distância de um ponto $ D(x_0, y_0, z_0) $ ao plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano que contém os pontos $ A, B, C $.
Para isso, usamos o vetor normal ao plano, que é o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $:
Já calculamos anteriormente:
Portanto, a equação do plano tem a forma:
Usando $ A = (1, -1, 1) $:
Agora, a equação do plano é $ x - y + z - 3 = 0 $.
Aplicando a fórmula da distância para o ponto $ D = (1, -2, 2) $:
Resposta
Os pontos $ A, B, C $ não são colineares. A área do triângulo formado por $ A, B, C $ é $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Os pontos $ A, B, C, D $ não são coplanares. A distância do ponto $ D $ ao plano que contém $ A, B, C $ é $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $.