24/06
Calcular a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta
e o plano
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Calcular a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma reta $ r $ definida por
e um plano $ \pi $ dado pela equação $ x - z = 7 $. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas:
- Posição relativa: Ver se a reta está cortando o plano, é paralela a ele ou está contida nele.
- Ângulo: Medir o ângulo que a reta forma com o plano.
- Distância: Calcular a menor distância entre a reta e o plano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações paramétricas de retas, equações de planos, ângulos entre retas e planos, e fórmulas de distância.
Passo 2
1. Verificando a posição relativa da reta e do plano
Primeiro, vamos verificar se a reta $ r $ está cortando o plano $ \pi $ ou se é paralela a ele. Para isso, vamos substituir os parâmetros da reta na equação do plano.
A reta $ r $ é dada por:
Substituindo $ x $ e $ z $ na equação do plano $ x - z = 7 $:
Essa equação não faz sentido, pois chegamos a
, que é falsa. Isso significa que a reta não intersecta o plano. Portanto, a reta $ r $ é paralela ao plano $ \pi $.
Passo 3
2. Calculando o ângulo entre a reta e o plano
Como a reta é paralela ao plano, o ângulo entre eles é de 90 graus. Mas vamos entender por que isso acontece.
O ângulo entre uma reta e um plano é definido como o complemento do ângulo entre a direção da reta e a normal do plano. Como a reta é paralela ao plano, a direção da reta é perpendicular à normal do plano. Isso resulta em um ângulo de 90 graus entre a reta e o plano.
Passo 4
3. Calculando a distância entre a reta e o plano
Para encontrar a distância entre uma reta paralela a um plano, podemos usar a seguinte fórmula:
Onde:
- $ ax + by + cz + d = 0 $ é a equação do plano.
- $ (x_0, y_0, z_0) $ é um ponto na reta.
Vamos reescrever a equação do plano $ x - z = 7 $ na forma $ ax + by + cz + d = 0 $:
Então, $ a = 1 $, $ b = 0 $, $ c = -1 $, e $ d = -7 $.
Agora, escolhemos um ponto na reta $ r $. Vamos usar $ t = 0 $, que dá o ponto $ (0, 1, 1) $.
Substituindo na fórmula:
Resposta
A reta $ r $ é paralela ao plano $ \pi $, forma um ângulo de 90° com o plano e está a uma distância de $ 4\sqrt{2} $ unidades do plano.