20/05
Os pontos 
  e 
  determinam um quadrado no plano cartesiano. Sabendo que a origem 
  está dentro do quadrado, achar 
  e 
 . Calcular o coseno do ângulo 
 . Dar uma equação para o círculo circunscrito ao quadrado.
Os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois pontos no plano cartesiano: 
  e 
 . Queremos encontrar os pontos 
  e 
  que, junto com 
  e 
 , formam um quadrado. Além disso, sabemos que a origem 
  está dentro desse quadrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, rotação de pontos e equação de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar os pontos 
  e 
 . Sabemos que em um quadrado, todas as laterais têm o mesmo comprimento e os ângulos entre elas são de 
 . Vamos considerar que 
  e 
  sejam dois vértices consecutivos do quadrado.
Vamos calcular o vetor que vai de 
  para 
 :
Agora, para encontrar o próximo ponto 
 , precisamos rotacionar esse vetor 
  no sentido anti-horário. A rotação de um vetor 
  em 
  anti-horário resulta em 
 . Então:
Agora, somamos esse vetor ao ponto 
  para encontrar 
 :
Para encontrar 
 , seguimos o mesmo processo. O vetor 
  será igual a 
 , já que os lados opostos de um quadrado são iguais e paralelos:
No entanto, precisamos verificar se a origem 
  está dentro do quadrado formado por esses pontos. Calculando as coordenadas, observamos que a origem 
  não está dentro desse quadrado específico. Isso significa que precisamos considerar a outra possibilidade de rotação, ou seja, no sentido horário.
Então, vamos rotacionar o vetor 
  
  no sentido horário, que resulta em 
 :
Ainda não conseguimos abrigar a origem dentro do quadrado, então devemos ajustar nossa abordagem.
Na verdade, a abordagem correta é considerar que 
  e 
  são diagonais do quadrado, já que apenas com lados consecutivos não conseguimos posicionar a origem dentro do quadrado.
Calculando o ponto médio da diagonal 
 :
Como 
  é o centro do quadrado e queremos que a origem esteja dentro, ajustamos os pontos 
  e 
  em relação a esse centro. A partir daqui, podemos determinar as demais coordenadas usando simetria.
Após os cálculos corretos, encontramos:
Mas como 
  não pode ser a origem, ajustamos novamente e encontramos:
Passo 3
Agora que temos os pontos 
  e 
 , vamos calcular o cosseno do ângulo 
 . Esse ângulo é formado pelas vetores 
  e 
 .
Primeiro, definimos os vetores:
Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas (comprimentos) dos vetores:
Então:
Isso significa que o ângulo 
  é de 
 , já que o cosseno de 
  é zero.
Passo 4
Por último, vamos encontrar a equação do círculo circunscrito ao quadrado. O círculo circunscrito passa por todos os vértices do quadrado e tem como centro o ponto médio das diagonais do quadrado.
Primeiro, encontramos as diagonais do quadrado. As diagonais são 
  e 
 .
Calculando o ponto médio de 
 :
Calculando o ponto médio de 
 :
Como ambos os pontos médios são iguais, o centro do círculo circunscrito é 
 .
Para encontrar o raio do círculo, calculamos a distância entre o centro 
  e qualquer um dos vértices do quadrado, por exemplo, o ponto 
 :
Então, a equação do círculo com centro em 
  e raio 
  é:
Resposta
Os pontos 
  e 
  são 
  e 
 , respectivamente. O cosseno do ângulo 
  é 
 . A equação do círculo circunscrito ao quadrado é 
 .