20/05
Os pontos
e
determinam um quadrado no plano cartesiano. Sabendo que a origem
está dentro do quadrado, achar
e
. Calcular o coseno do ângulo
. Dar uma equação para o círculo circunscrito ao quadrado.
Os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois pontos no plano cartesiano:
e
. Queremos encontrar os pontos
e
que, junto com
e
, formam um quadrado. Além disso, sabemos que a origem
está dentro desse quadrado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, rotação de pontos e equação de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar os pontos
e
. Sabemos que em um quadrado, todas as laterais têm o mesmo comprimento e os ângulos entre elas são de
. Vamos considerar que
e
sejam dois vértices consecutivos do quadrado.
Vamos calcular o vetor que vai de
para
:
Agora, para encontrar o próximo ponto
, precisamos rotacionar esse vetor
no sentido anti-horário. A rotação de um vetor
em
anti-horário resulta em
. Então:
Agora, somamos esse vetor ao ponto
para encontrar
:
Para encontrar
, seguimos o mesmo processo. O vetor
será igual a
, já que os lados opostos de um quadrado são iguais e paralelos:
No entanto, precisamos verificar se a origem
está dentro do quadrado formado por esses pontos. Calculando as coordenadas, observamos que a origem
não está dentro desse quadrado específico. Isso significa que precisamos considerar a outra possibilidade de rotação, ou seja, no sentido horário.
Então, vamos rotacionar o vetor
no sentido horário, que resulta em
:
Ainda não conseguimos abrigar a origem dentro do quadrado, então devemos ajustar nossa abordagem.
Na verdade, a abordagem correta é considerar que
e
são diagonais do quadrado, já que apenas com lados consecutivos não conseguimos posicionar a origem dentro do quadrado.
Calculando o ponto médio da diagonal
:
Como
é o centro do quadrado e queremos que a origem esteja dentro, ajustamos os pontos
e
em relação a esse centro. A partir daqui, podemos determinar as demais coordenadas usando simetria.
Após os cálculos corretos, encontramos:
Mas como
não pode ser a origem, ajustamos novamente e encontramos:
Passo 3
Agora que temos os pontos
e
, vamos calcular o cosseno do ângulo
. Esse ângulo é formado pelas vetores
e
.
Primeiro, definimos os vetores:
Para encontrar o cosseno do ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas (comprimentos) dos vetores:
Então:
Isso significa que o ângulo
é de
, já que o cosseno de
é zero.
Passo 4
Por último, vamos encontrar a equação do círculo circunscrito ao quadrado. O círculo circunscrito passa por todos os vértices do quadrado e tem como centro o ponto médio das diagonais do quadrado.
Primeiro, encontramos as diagonais do quadrado. As diagonais são
e
.
Calculando o ponto médio de
:
Calculando o ponto médio de
:
Como ambos os pontos médios são iguais, o centro do círculo circunscrito é
.
Para encontrar o raio do círculo, calculamos a distância entre o centro
e qualquer um dos vértices do quadrado, por exemplo, o ponto
:
Então, a equação do círculo com centro em
e raio
é:
Resposta
Os pontos
e
são
e
, respectivamente. O cosseno do ângulo
é
. A equação do círculo circunscrito ao quadrado é
.