[10.1] Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia no intervalo dado:
[19]
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Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas de uma partícula:
x=5+2\cos(\pi t),
y=3+2\sin(\pi t),
para t no intervalo 1≤t≤2. O conteúdo aqui é representação paramétrica de circunferência, e vamos usar a forma padrão:
x=5+2\cos(\pi t),
y=3+2\sin(\pi t),
para t no intervalo 1≤t≤2. O conteúdo aqui é representação paramétrica de circunferência, e vamos usar a forma padrão:
que descreve uma circunferência de centro (x_0,y_0) e raio R, variando o ângulo
.
Passo 2
Definimos o ângulo
. Como t varia de 1 até 2, temos:
Assim, à medida que t vai de 1 a 2, o ângulo
percorre de
até
.
Passo 3
A partir das fórmulas vemos que o centro da circunferência é (5,3) e o raio é 2. O parâmetro
variando de
a
percorre a parte inferior da circunferência no sentido anti-horário (orientação padrão de
crescente).
Passo 4
Calculamos os pontos inicial e final:
Para t=1 ( ):
Para t=1 (
Para t=2 (
):
Passo 5
Portanto, a partícula move-se sobre a semicircunferência inferior de raio 2 e centro (5,3), começando em (3,3), descendo até o ponto mais baixo (5,1) e subindo até (7,3), no sentido anti-horário.
Resposta
A partícula descreve a semicircunferência inferior de centro (5,3) e raio 2, partindo de (3,3), passando por (5,1) e chegando em (7,3), com t variando de 1 a 2 no sentido anti-horário.