[10.1] Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado:
[19] x=5+2 cos (pi t), y=3+2 sen(pi t), 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas de uma partícula:
x=5+2\cos(\pi t),
y=3+2\sin(\pi t),
para t no intervalo 1≤t≤2. O conteúdo aqui é representação paramétrica de circunferência, e vamos usar a forma padrão:
X(t)=x0+Rcostheta(t), Y(t)=y0+Rsintheta(t)
que descreve uma circunferência de centro (x_0,y_0) e raio R, variando o ângulo theta.

Passo 2

Definimos o ângulo phi=pi t. Como t varia de 1 até 2, temos:
phi(1)=pi, phi(2)=2pi
Assim, à medida que t vai de 1 a 2, o ângulo phi percorre de pi até 2pi.

Passo 3

A partir das fórmulas vemos que o centro da circunferência é (5,3) e o raio é 2. O parâmetro phi variando de pi a 2pi percorre a parte inferior da circunferência no sentido anti-horário (orientação padrão de phi crescente).

Passo 4

Calculamos os pontos inicial e final:
Para t=1 ( phi=pi):
(x,y)=(5+2cospi,,3+2sinpi)=(5-2,3+0)=(3,3)
Para t=2 ( phi=2pi):
(x,y)=(5+2cos2pi,,3+2sin2pi)=(5+2,3+0)=(7,3)

Passo 5

Portanto, a partícula move-se sobre a semicircunferência inferior de raio 2 e centro (5,3), começando em (3,3), descendo até o ponto mais baixo (5,1) e subindo até (7,3), no sentido anti-horário.

Resposta

A partícula descreve a semicircunferência inferior de centro (5,3) e raio 2, partindo de (3,3), passando por (5,1) e chegando em (7,3), com t variando de 1 a 2 no sentido anti-horário.

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