[Seção 10.1] Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
[8] x=sen(t), y=1-cos (t) 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos com as equações paramétricas x=sin(t), y=1-cos(t) no intervalo 0<= t<=2pi. O objetivo é esboçar a curva marcando pontos-chave, indicar o sentido de traçado e eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana. O conteúdo envolve curvas paramétricas e identidades trigonométricas.

Passo 2

Cálculo dos pontos-chave: escolhemos t=0,,pi2,,pi,,3pi2,,2pi e obtemos:
t=0 (x,y)=(0,0)
t=pi2 (1,1)
t=pi (0,2)
t=3pi2 (-1,1)
t=2pi (0,0)
Esses pontos estão em um círculo de raio 1 centrado em (0,1).

Passo 3

Esboço e direção: plotamos os pontos e ligamos por um arco de círculo de raio 1 com centro em (0,1). Conforme t cresce, passamos em (0,0) (1,1) (0,2) (-1,1) (0,0), ou seja, no sentido anti-horário. Colocamos uma seta nesse sentido.

Passo 4

Eliminação do parâmetro: escrevemos sin(t)=x e cos(t)=1-y. Aplicando a identidade sin^2(t)+cos^2(t)=1 resulta em:
x^2+(1-y)^2=1
que é a equação cartesiana da curva.

Resposta

A curva é um círculo de raio 1 centrado em (0,1), percorrido no sentido anti-horário conforme t aumenta, e sua equação cartesiana é x^2+(y-1)^2=1.

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