f(x)=-10 x(1+5 x^2)^2
Dica: use representações de séries conhecidas, derivadas e/ou integrais.
Escolha uma opção:
a. f(x)=sumn=1^infty 2 n 5^n x^2 n-1
b. f(x)=sumn=0^infty n 5^n x^n-1
c. f(x)=-10 sumn=0^infty 5^n x^2 n
d. f(x)=sumn=0^infty(-1)^n 5^n x^2 n
e. f(x)=sumn=1^infty(-1)^n 2 n 5^n x^2 n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a função $ f(x) = \frac{-10x}{\left(1 + 5x{2}\right){2}} $ e nos pede para expressá-la como uma série. Isso envolve conhecimentos de séries conhecidas, derivadas e integrais. Vamos usar a representação de séries geométricas e aplicar derivadas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. Sabemos que, para |r| < 1,
11 - r = sumn=0^infty r^n
No nosso caso, queremos adaptar isso para a forma 11 + 5x^2. Podemos reescrever o denominador como 1 - (-5x^2), então:
11 + 5x^2 = 11 - (-5x^2) = sumn=0^infty (-5x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n 5^n x^2n
Essa é a representação em série geométrica para $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ f(x) = \frac{-10x}{\left(1 + 5x{2}\right){2}} $. Observamos que isso se parece com a derivada da função $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $. Vamos calcular a derivada dessa função para ver se conseguimos relacionar com $ f(x) $.
Derivando $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $ em relação a $ x $:
f(x) = -10x(1 + 5x^2)^2
Simplificando:
11 + 5x^2

Passo 4

Comparando a derivada que encontramos com a função $ f(x) $, vemos que:
f(x)
Simplificando os coeficientes:
f(x) = -10x(1 + 5x^2)^2 = -10 cdot ddx(11 + 5x^2) = -10 cdot sumn=0^infty (-1)^n 2n 5^n x^2n - 1
Podemos ajustar o índice de soma começando de $ n=1 $ sem perda de generalidade:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n (-20n) 5^n x^2n - 1 = sumn=0^infty (-1)^n+1 20n 5^n x^2n - 1

Resposta

A alternativa correta é:
e. $ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} 2n , 5^{n} x^{2n-1} $

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