Dica: use representações de séries conhecidas, derivadas e/ou integrais.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta a função $ f(x) = \frac{-10x}{\left(1 + 5x{2}\right){2}} $ e nos pede para expressá-la como uma série. Isso envolve conhecimentos de séries conhecidas, derivadas e integrais. Vamos usar a representação de séries geométricas e aplicar derivadas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. Sabemos que, para
,
No nosso caso, queremos adaptar isso para a forma
. Podemos reescrever o denominador como
, então:
Essa é a representação em série geométrica para $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ f(x) = \frac{-10x}{\left(1 + 5x{2}\right){2}} $. Observamos que isso se parece com a derivada da função $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $. Vamos calcular a derivada dessa função para ver se conseguimos relacionar com $ f(x) $.
Derivando $ \frac{1}{1 + 5x^{2}} $ em relação a $ x $:
Simplificando:
Passo 4
Comparando a derivada que encontramos com a função $ f(x) $, vemos que:
Simplificando os coeficientes:
Podemos ajustar o índice de soma começando de $ n=1 $ sem perda de generalidade:
Resposta
A alternativa correta é:
e. $ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} 2n , 5^{n} x^{2n-1} $