Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região plana delimitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido formado ao girar, em torno do eixo $ y $, a região delimitada pela curva $ y = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, pelo eixo $ x $ e pela reta $ x = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo $ y $. Imagine que você tem uma área no plano $ xy $ e gira essa área em volta do eixo vertical $ y $. O resultado é um sólido tridimensional, e queremos descobrir o volume desse sólido.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo $ y $, como é o caso aqui. A fórmula para o volume $ V $ usando esse método é:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a curva, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $ que estamos considerando, que vai de $ 0 $ (o eixo $ x $) até $ 3 $ (a reta $ x = 3 $).
Passo 4
Vamos identificar $ f(x) $ na nossa função. A curva dada é:
Essa é a altura da nossa “cáscara cilíndrica” para cada valor de $ x $ entre $ 0 $ e $ 3 $.
Passo 5
Agora, vamos substituir $ f(x) $ na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Seja:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Isso nos permite substituir parte da integral:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{u}} $ em relação a $ u $ é $ 2\sqrt{u} $, então:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original $ x $:
Vamos calcular esse valor nos limites de integração.
Passo 9
Primeiro, para $ x = 3 $:
Então:
Para $ x = 0 $:
Então:
Passo 10
Subtraindo os dois valores:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 36\pi $ unidades cúbicas.