Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região plana delimitada pela curva y=9 xraizx^3+9, pelo eixo x e pela reta x=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido formado ao girar, em torno do eixo $ y $, a região delimitada pela curva $ y = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, pelo eixo $ x $ e pela reta $ x = 3 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou cilindros. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo $ y $. Imagine que você tem uma área no plano $ xy $ e gira essa área em volta do eixo vertical $ y $. O resultado é um sólido tridimensional, e queremos descobrir o volume desse sólido.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, podemos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo $ y $, como é o caso aqui. A fórmula para o volume $ V $ usando esse método é:
y
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a curva, e $ [a, b] $ é o intervalo de $ x $ que estamos considerando, que vai de $ 0 $ (o eixo $ x $) até $ 3 $ (a reta $ x = 3 $).

Passo 4

Vamos identificar $ f(x) $ na nossa função. A curva dada é:
f(x)
Essa é a altura da nossa “cáscara cilíndrica” para cada valor de $ x $ entre $ 0 $ e $ 3 $.

Passo 5

Agora, vamos substituir $ f(x) $ na fórmula do volume:
f(x)
Simplificando a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral0^3 x cdot 9xraizx^3+9 , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Seja:
u = x^3 + 9
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u
Isso nos permite substituir parte da integral:
x

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{u}} $ em relação a $ u $ é $ 2\sqrt{u} $, então:
V = 2pi integral 9x^2raizu cdot du3x^2 = 2pi integral 93 cdot 1raizu , du = 6pi integral 1raizu , du

Passo 8

Agora, voltamos à variável original $ x $:
x
Vamos calcular esse valor nos limites de integração.

Passo 9

Primeiro, para $ x = 3 $:
x = 3
Então:
raiz3^3 + 9 = raiz27 + 9 = raiz36 = 6
Para $ x = 0 $:
12pi times 6 = 72pi
Então:
x = 0

Passo 10

Subtraindo os dois valores:
V = 72pi - 36pi = 36pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 36\pi $ unidades cúbicas.

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