Dada a sequência estritamente crescente
e a série de termos positivos
, definir a função
Provar que
é uma função crescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma sequência estritamente crescente
e uma série com termos positivos
. A gente precisa definir uma função $ f(x) $ que soma os $ a_{n} $ cujos índices correspondem a $ r_{n} $ menores que $ x $. Nosso objetivo é provar que essa função $ f $ é crescente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências, séries e propriedades de funções crescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da função $ f(x) $. Ela é definida como:
Isso significa que para cada valor de $ x $, somamos todos os $ a_{n} $ onde $ r_{n} $ é menor que $ x $. Como a sequência $ r_{n} $ é estritamente crescente, isso nos ajuda a determinar quais termos incluir na soma para cada $ x $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser crescente. Uma função $ f $ é crescente se, sempre que $ x_1 < x_2 $, então $ f(x_1) \leq f(x_2) $. Ou seja, conforme $ x $ aumenta, os valores de $ f(x) $ também aumentam ou permanecem iguais.
Passo 4
Vamos considerar dois valores quaisquer $ x_1 $ e $ x_2 $ tais que $ x_1 < x_2 $. Precisamos mostrar que $ f(x_1) \leq f(x_2) $.
Como $ x_1 < x_2 $, todo $ n $ que satisfaz $ r_n < x_1 $ também satisfaz $ r_n < x_2 $, porque a sequência $ r_n $ é crescente. Além disso, pode haver valores de $ n $ para os quais $ r_n < x_2 $ mas $ r_n \geq x_1 $. Portanto, a soma que define $ f(x_2) $ inclui todos os termos de $ f(x_1) $ mais possivelmente mais alguns termos adicionais.
Passo 5
Como todos os termos $ a_n $ são positivos, adicionar mais termos à soma não diminui o valor total. Assim, temos:
Isso mostra que $ f(x_2) \geq f(x_1) $ sempre que $ x_2 > x_1 $.
Resposta
Portanto, provamos que a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ é crescente.