[10.3] Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de theta:
[55] r=2 cos (theta), theta=pi3

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva polar dada por r=2cos(theta) no ponto especificado por theta=pi3. Vamos usar o conteúdo de derivadas em coordenadas polares, em que
dydx=drdthetasintheta + rcosthetadrdthetacostheta - rsintheta

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada drdtheta. Para r=2costheta temos
drdtheta=-2sintheta

Passo 3

Agora substituímos r e drdtheta na expressão de dydx. O numerador fica:
N=drdthetasintheta + rcostheta = (-2sintheta)sintheta + (2costheta)costheta = 2(cos^2theta - sin^2theta) = 2cos(2theta)
E o denominador:
D=drdthetacostheta - rsintheta = (-2sintheta)costheta - (2costheta)sintheta = -4sinthetacostheta = -2sin(2theta)

Passo 4

Agora avaliamos N e D em theta=pi3. Temos:
N(tfracpi3) = 2cosl(2cdottfracpi3r) = 2cosl(tfrac2pi3r) = 2cdotl(-tfrac12r) = -1
D(tfracpi3) = -2sinl(2cdottfracpi3r) = -2sinl(tfrac2pi3r) = -2cdottfracraiz32 = -raiz3

Passo 5

Por fim, a inclinação é
dydx=ND=-1-raiz3=1raiz3

Resposta

1raiz3

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