Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=sin x e y=cos x, 0 <= x <= pi / 4, em torno da reta y=1.

Passo 1

Temos a região limitada por y=sin x e y=cos x para 0<= x<= pi/4, e queremos o volume obtido ao rotacionar essa região em torno da reta y=1. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução usando o método dos anéis.

Passo 2

Em [0,pi/4] vale cos x>sin x, então quem está “por cima” é y=cos x e “por baixo” é y=sin x. Ao girar em torno de y=1, a distância de um ponto (x,y) até o eixo é |1-y|. Como 1-sin x>=1-cos x, o raio externo é R(x)=1-sin x e o interno é r(x)=1-cos x.

Passo 3

Pelo método dos anéis,
V=piintegral0^pi/4l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
Substituindo R(x) e r(x):
V=piintegral0^pi/4l[(1-sin x)^2 - (1-cos x)^2r]dx
Expandindo e simplificando:
(1-sin x)^2 - (1-cos x)^2 = -2sin x +sin^2 x +2cos x -cos^2 x = 2(cos x-sin x) - cos2x
Logo
V=piintegral0^pi/4l[2(cos x-sin x)-cos2xr]dx

Passo 4

Uma primitiva é
F(x)=2sin x +2cos x - tfrac12sin2x
Calculando F(pi/4) e F(0):
F(pi/4)=2tfracraiz22+2tfracraiz22-tfrac12cdot1 =2raiz2 -tfrac12, F(0)=0+2-0=2
A diferença é
F(pi/4)-F(0)=2raiz2 -tfrac12 -2 =2raiz2 -tfrac52

Passo 5

Multiplicando por pi fica o volume.

Resposta

V=pil(2raiz2 - tfrac52r)=dfrac(4raiz2-5)pi2

Exercícios relacionados