Calcule a integral.
Passo 1
Estamos com a integral definida
e precisamos usar manipulação algébrica para quebrar o integrando e depois aplicar integrais conhecidas de funções envolvendo
.
Passo 2
Repare que podemos reescrever o numerador
em função de
. Escrevemos:
Logo,
Dessa forma, a integral separa em duas partes.
Passo 3
Agora reconhecemos duas integrais padrão:
e
Essas fórmulas vêm de técnicas de substituição trigonométrica e de derivação de arcos.
Passo 4
Usando essas primitivas, uma antiderivada comum é
Passo 5
Agora avaliamos de 0 até
. Primeiro em
:
Em
, temos
.
Passo 6
Subtraindo, o valor da integral é
Resposta
$ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} $