Calcule a integral.
integral0^raiz2 / 2 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Estamos com a integral definida
integral0^raiz2/2x^2raiz1-x^2,dx
e precisamos usar manipulação algébrica para quebrar o integrando e depois aplicar integrais conhecidas de funções envolvendo raiz1-x^2.

Passo 2

Repare que podemos reescrever o numerador x^2 em função de 1 - x^2. Escrevemos:
x^2 = 1 - (1 - x^2)
Logo,
x^2raiz1-x^2 = 1raiz1-x^2 - 1-x^2raiz1-x^2 = 1raiz1-x^2 - raiz1-x^2
Dessa forma, a integral separa em duas partes.

Passo 3

Agora reconhecemos duas integrais padrão:
integral1raiz1-x^2,dx = arcsin(x) + C
e
integralraiz1-x^2,dx = x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x) + C
Essas fórmulas vêm de técnicas de substituição trigonométrica e de derivação de arcos.

Passo 4

Usando essas primitivas, uma antiderivada comum é
F(x) = integralx^2raiz1-x^2,dx = integral1raiz1-x^2,dx - integralraiz1-x^2,dx
F(x) = arcsin(x) - l(x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x)r) + C = -x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x) + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 até raiz2/2. Primeiro em x=raiz2/2:
raiz1-x^2 = raiz1-tfrac12 = raiz22,
Fl(tfracraiz22r) = -12 cdot 12 + 12 cdot pi4 = -14 + pi8
Em x=0, temos F(0)=0.

Passo 6

Subtraindo, o valor da integral é
Fl(tfracraiz22r) - F(0) = -14 + pi8 = pi8 - 14

Resposta

$ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} $

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