[10.3] Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
[64] r=e^theta

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a reta tangente à curva polar r= e^theta é horizontal ou vertical. Isso envolve derivar as coordenadas paramétricas x(theta)=rcostheta e y(theta)=rsintheta e usar tfracdydx=tfrac(dy/dtheta)(dx/dtheta).

Passo 2

Escrevendo as coordenadas e suas derivadas em função de theta:
x(theta)=e^thetacostheta,
y(theta)=e^thetasintheta
Derivando em relação a theta:
dxdtheta=e^theta(costheta-sintheta),
dydtheta=e^theta(sintheta+costheta)

Passo 3

A inclinação da tangente é
dydx=dy/dthetadx/dtheta =e^theta(sintheta+costheta)e^theta(costheta-sintheta) =sintheta+costhetacostheta-sintheta

Passo 4

Para ter tangente horizontal, fazemos dy/dx=0, ou seja, numerador zero:
sintheta+costheta=0 $$
\implies \tan\theta=-1
\implies \theta=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Passo 5

Para ter tangente vertical, o denominador deve ser zero (e o numerador não):
costheta-sintheta=0 $$
\implies \tan\theta=1
\implies \theta=\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Resposta

As tangentes horizontais ocorrem em theta=-tfracpi4+kpi e as verticais em theta=tfracpi4+kpi, para todo inteiro k.

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