[10.3] Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
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Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a reta tangente à curva polar
é horizontal ou vertical. Isso envolve derivar as coordenadas paramétricas
e
e usar
.
Passo 2
Escrevendo as coordenadas e suas derivadas em função de
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
A inclinação da tangente é
Passo 4
Para ter tangente horizontal, fazemos
, ou seja, numerador zero:
\implies \tan\theta=-1
\implies \theta=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
\implies \theta=-\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
$$
Passo 5
Para ter tangente vertical, o denominador deve ser zero (e o numerador não):
\implies \tan\theta=1
\implies \theta=\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
\implies \theta=\tfrac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.
$$
Resposta
As tangentes horizontais ocorrem em
e as verticais em
, para todo inteiro
.