Esboce a região de integração e troque a ordem de integração em:
integral0^1 integral2 x^x+1 f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração na integral dupla:
integral0^1 integral2x^x+1 f(x, y) , dy , dx
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, especialmente a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região onde a função $ f(x, y) $ está sendo integrada e como ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos $ x $ variando de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ 2x $ até $ x + 1 $.
Isso significa que a região está limitada pelas retas:
  • $ y = 2x $
  • $ y = x + 1 $
  • $ x = 0 $
  • $ x = 1 $
Vamos desenhar essas retas para visualizar melhor:
  1. $ y = 2x $: Uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
  2. $ y = x + 1 $: Uma reta que cruza o eixo $ y $ no ponto (0,1) com inclinação 1.
  3. $ x = 0 $ e $ x = 1 $: Linhas verticais nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites exatos da região:
Igualando $ 2x = x + 1 $:
2x = x + 1
Substituindo $ x = 1 $ em $ y = 2x $:
2x = x + 1 2x - x = 1 x = 1
Então, as retas se cruzam no ponto (1, 2).

Passo 4

Com isso, nossa região de integração está delimitada pelos seguintes limites:
  • Para $ x $ entre 0 e 1.
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 2x $ até $ x + 1 $.
Visualizando a região:
  • Começa em $ x = 0 $, onde $ y $ vai de 0 a 1.
  • Até $ x = 1 $, onde $ y $ vai de 2 a 2 (apenas um ponto).

Passo 5

Agora, vamos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  1. Determinar os limites de $ y $: Observando a região, $ y $ varia de 0 a 2.
  2. Para cada $ y $, encontrar os limites de $ x $:
    • Para $ y $ entre 0 e 1:
      • A reta inferior é $ y = 2x $ x
      • A reta vertical é $ x = 0 $
      • Então, $ x $ varia de 0 a $ \frac{y}{2} $
    • Para $ y $ entre 1 e 2:
      • A reta superior é $ y = x + 1 $ y
      • A reta vertical é $ x = 1 $
      • Então, $ x $ varia de $ y - 1 $ a 1

Passo 6

Montando a nova integral com a ordem trocada:
integral0^2 integrallimite inferior^limite superior f(x, y) , dx , dy
Substituindo os limites determinados:
integral0^1 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly - 1^1 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^1 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly - 1^1 f(x, y) , dx , dy

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