Esboce a região de integração e troque a ordem de integração em:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região de integração e trocar a ordem de integração na integral dupla:
Matéria envolvida: Cálculo de integrais duplas, especialmente a troca da ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região onde a função $ f(x, y) $ está sendo integrada e como ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos $ x $ variando de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ 2x $ até $ x + 1 $.
Isso significa que a região está limitada pelas retas:
- $ y = 2x $
- $ y = x + 1 $
- $ x = 0 $
- $ x = 1 $
Vamos desenhar essas retas para visualizar melhor:
- $ y = 2x $: Uma reta que passa pela origem com inclinação 2.
- $ y = x + 1 $: Uma reta que cruza o eixo $ y $ no ponto (0,1) com inclinação 1.
- $ x = 0 $ e $ x = 1 $: Linhas verticais nos pontos $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para determinar os limites exatos da região:
Igualando $ 2x = x + 1 $:
Substituindo $ x = 1 $ em $ y = 2x $:
Então, as retas se cruzam no ponto (1, 2).
Passo 4
Com isso, nossa região de integração está delimitada pelos seguintes limites:
- Para $ x $ entre 0 e 1.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 2x $ até $ x + 1 $.
Visualizando a região:
- Começa em $ x = 0 $, onde $ y $ vai de 0 a 1.
- Até $ x = 1 $, onde $ y $ vai de 2 a 2 (apenas um ponto).
Passo 5
Agora, vamos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Para isso, precisamos determinar os novos limites:
- Determinar os limites de $ y $: Observando a região, $ y $ varia de 0 a 2.
- Para cada $ y $, encontrar os limites de $ x $:
- Para $ y $ entre 0 e 1:
- A reta inferior é $ y = 2x $
- A reta vertical é $ x = 0 $
- Então, $ x $ varia de 0 a $ \frac{y}{2} $
- A reta inferior é $ y = 2x $
- Para $ y $ entre 1 e 2:
- A reta superior é $ y = x + 1 $
- A reta vertical é $ x = 1 $
- Então, $ x $ varia de $ y - 1 $ a 1
- A reta superior é $ y = x + 1 $
- Para $ y $ entre 0 e 1:
Passo 6
Montando a nova integral com a ordem trocada:
Substituindo os limites determinados:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada fica: