[10.3] Esboce uma curva com equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas:
[30] r=1-cos (theta)

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar a curva polar definida por r=1−cos(θ), mas antes de tudo vamos traçar r como função de θ num gráfico cartesiano. O conteúdo é coordenadas polares e análise de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos analisar r(θ)=1−cos(θ) no intervalo [0,2π] e marcar os pontos-chave: em θ=0 temos r=1−cos(0)=0; em θ=π/2 r=1−0=1; em θ=π r=1−(−1)=2; em θ=3π/2 r=1−0=1; em θ=2π r=1−1=0. Com isso o gráfico de r versus θ é uma onda senoidal deslocada, partindo de 0, subindo até 2 em π e voltando a 0 em 2π.

Passo 3

Sabendo que r(θ)≥0 sempre, não temos raios negativos pra “virar” a direção. Agora, pra esboçar em coordenadas polares, cada ponto (θ,r(θ)) é plotado com ângulo θ a partir do eixo polar e distância r(θ) do polo. Assim, começamos no polo, abrimos até r=1 em θ=π/2, alcançamos o ponto mais afastado (r=2) em θ=π, voltamos a r=1 em 3π/2 e retornamos ao polo em 2π.

Passo 4

Podemos ver que isso gera uma cardioide virada para a esquerda (cuspide no polo e “barriga” para θ=π). Para confirmar, escrevemos as equações paramétricas:
x(θ)=r(θ)cosθ=(1-cosθ)cosθ, y(θ)=r(θ)sinθ=(1-cosθ)sinθ
Quem já viu cardioide reconhece essa forma.

Passo 5

A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal (eixo polar), tem cuspide no polo θ=0 (r=0), e atinge seu ponto de máximo afastamento do polo, r=2, em θ=π.

Passo 6

Com base na análise de r(θ) e no traçado polar, concluímos que a curva é exatamente uma cardioide de equação r=1−cos(θ), com cuspide no polo e “barriga” apontada para a esquerda.

Resposta

O esboço da curva é uma cardioide com cuspide no polo (θ=0), simétrica em torno do eixo polar e com ponto mais distante (r=2) em θ=π.

Exercícios relacionados