Determine a função inversa em cada caso:
g(x)=1x+1(f: R-1 R^*).

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de g, que é definida por g: Rsetminus-1to R^*= Rsetminus0 dada por
g(x)=1x+1
Para encontrar a inversa, vamos precisar apenas isolar x em função de y na equação y=1/(x+1).

Passo 2

Começamos escrevendo
y=1x+1
Esse passo é fundamental: estamos reescrevendo g(x) como y para depois trocar variáveis e obter g^{-1}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1) para eliminar o denominador:
y,(x+1)=1
Aqui usamos a propriedade de que podemos multiplicar ambos os membros de uma igualdade pela mesma expressão, desde que não seja zero.

Passo 4

Agora expandimos o produto no lado esquerdo e isolamos x:
yx+y=1
yx=1-y
x=1-yy
Esse é o passo crucial de álgebra: passamos todos os termos com x para um lado e fatoramos x.

Passo 5

Trocando y por x para escrever a inversa na forma tradicional, obtemos:
g^-1(x)=1-xx, xneq 0
Aqui já definimos também o domínio de g^{-1}: deve ser R^*, ou seja, xneq 0.

Resposta

A função inversa é g^-1(x)=1-xx, com domínio Rsetminus0.

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