Determine a função inversa em cada caso:
.
Passo 1
O enunciado pede a função inversa de g, que é definida por g:
dada por
Para encontrar a inversa, vamos precisar apenas isolar x em função de y na equação y=1/(x+1).
Passo 2
Começamos escrevendo
Esse passo é fundamental: estamos reescrevendo g(x) como y para depois trocar variáveis e obter g^{-1}.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Aqui usamos a propriedade de que podemos multiplicar ambos os membros de uma igualdade pela mesma expressão, desde que não seja zero.
Passo 4
Agora expandimos o produto no lado esquerdo e isolamos x:
Esse é o passo crucial de álgebra: passamos todos os termos com x para um lado e fatoramos x.
Passo 5
Trocando y por x para escrever a inversa na forma tradicional, obtemos:
Aqui já definimos também o domínio de g^{-1}: deve ser
, ou seja,
.
Resposta
A função inversa é
, com domínio
.