Obtenha
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar $ f^{-1}(7) $, sabendo que $ f(x) = \frac{1}{3x + 1} $. Isso significa que a gente precisa achar o valor de $ x $ que, quando colocado na função $ f $, resulta em 7. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções inversas e como resolver equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa $ f^{-1}(y) $ é aquela que nos dá o valor de $ x $ tal que $ f(x) = y $. No nosso caso, queremos $ f^{-1}(7) $, ou seja, encontrar o $ x $ que faz $ f(x) = 7 $.
Passo 3
Vamos começar substituindo $ f(x) $ por 7 na equação da função:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $.
Passo 4
Para resolver a equação, vamos primeiro eliminar a fração. Podemos multiplicar ambos os lados da equação por $ 3x + 1 $ para ficar mais fácil:
Passo 5
Agora, vamos distribuir o 7 que está multiplicando dentro do parêntese:
Passo 6
Em seguida, vamos isolar o termo que contém $ x $. Subtraímos 7 de ambos os lados da equação:
Passo 7
Por último, para encontrar $ x $, dividimos ambos os lados por 21:
Resposta
Então, $ f^{-1}(7) = -\frac{2}{7} $.