Obtenha f^-1(7), sabendo que f(x)=13 x+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar $ f^{-1}(7) $, sabendo que $ f(x) = \frac{1}{3x + 1} $. Isso significa que a gente precisa achar o valor de $ x $ que, quando colocado na função $ f $, resulta em 7. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções inversas e como resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa $ f^{-1}(y) $ é aquela que nos dá o valor de $ x $ tal que $ f(x) = y $. No nosso caso, queremos $ f^{-1}(7) $, ou seja, encontrar o $ x $ que faz $ f(x) = 7 $.

Passo 3

Vamos começar substituindo $ f(x) $ por 7 na equação da função:
f(x)
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ x $.

Passo 4

Para resolver a equação, vamos primeiro eliminar a fração. Podemos multiplicar ambos os lados da equação por $ 3x + 1 $ para ficar mais fácil:
3x + 1

Passo 5

Agora, vamos distribuir o 7 que está multiplicando dentro do parêntese:
1 = 21x + 7

Passo 6

Em seguida, vamos isolar o termo que contém $ x $. Subtraímos 7 de ambos os lados da equação:
x
1 - 7 = 21x

Passo 7

Por último, para encontrar $ x $, dividimos ambos os lados por 21:
x
x = -621

Resposta

Então, $ f^{-1}(7) = -\frac{2}{7} $.

Exercícios relacionados