Considere a EDO
2 x y-sin x+(x^2+e^y) y^prime=0
Considerando M(x, y)=2 x y-sin x e N(x, y)=x^2+e^y, verifique se partial Mpartial y=partial Npartial x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que está na forma:
2xy - sin x + (x^2 + e^y) y' = 0
A gente define duas funções a partir dessa equação:
  • $ M(x, y) = 2xy - \sin x $
  • $ N(x, y) = x^{2} + e^{y} $
O que precisamos fazer é verificar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Essa verificação é importante para saber se a EDO é exata, ou seja, se ela pode ser resolvida de uma maneira mais simples usando funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial M}{\partial y} $.
Lembrando que $ M(x, y) = 2xy - \sin x $, a única parte que depende de $ y $ é $ 2xy $. A derivada de $ 2xy $ em relação a $ y $ é simplesmente $ 2x $, porque $ x $ é tratado como uma constante.
Então:
M

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial N}{\partial x} $.
Sabemos que $ N(x, y) = x^{2} + e^{y} $. Aqui, a parte que depende de $ x $ é $ x^{2} $. A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. A parte $ e^{y} $ não depende de $ x $, então sua derivada em relação a $ x $ é zero.
Portanto:
N

Resposta

Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = 2x $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x $, elas são iguais. Isso significa que a EDO dada é exata.

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