10.34 •• A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2,08 \mathrm{~m} (de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 1.950 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina e veja a Tabela 9.2. (b) Qual é a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5,00 rot? (c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rot iniciais? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5,00 rot iniciais? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5,00 rot?
10.38 •• (a) Calcule o módulo do momento angular da Terra descrevendo uma órbita em volta do Sol. É razoável modelá-la como uma partícula? (b) Calcule o módulo do momento angular da Terra em função de sua rotação em torno de um eixo que passa pelos polos norte e sul, modelando-a como uma esfera uniforme. Consulte o Apêndice E e os dados de astronomia no Apêndice F.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada parte. (Peguei os números diretamente do enunciado.)
Para o problema 10.34 (hélice):
  • Comprimento da hélice (de ponta a ponta): L=2{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Massa da hélice: M=117\\ \mathrm{kg}.
  • Torque aplicado constante: \tau=1{,}950\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • A hélice parte do repouso ( \omega_0=0).
  • Perguntas:
    (a) Qual a aceleração angular \alpha?
    (b) Qual a velocidade angular \omega quando a hélice completa 5{,}00 rotações?
    (c) Qual o trabalho realizado pelo motor nas 5{,}00 rotações iniciais?
    (d) Qual a potência média fornecida durante essas 5{,}00 rotações?
    (e) Qual a potência instantânea no instante em que a hélice completa essas 5{,}00 rotações?
Para o problema 10.38 (Terra):
  • Valores tomados como padrão (Apêndice F):
    • Massa da Terra: M_{\rm T}=5{,}97\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
    • Raio médio da órbita (1 UA): r_{\rm orb}=1{,}50\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade orbital média da Terra: v_{\rm orb}=2{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
    • Raio da Terra: R_{\rm T}=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
    • Período de rotação da Terra: T_{\rm rot}=24\\ \mathrm{h}=86\,400\\ \mathrm{s}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o módulo do momento angular da Terra descrevendo a órbita em torno do Sol (modelando a Terra como partícula).
    (b) Calcular o módulo do momento angular da Terra em função da sua rotação em torno do eixo (modelando a Terra como esfera uniforme).

Passo 2

Primeiro determinamos o momento de inércia da hélice modelada como uma barra fina de comprimento L e massa M, girando em torno do seu centro (eixo perpendicular ao comprimento no centro). A fórmula conhecida para uma barra fina de comprimento L e massa M girando pelo centro é
I=\frac{1}{12} M L^{2}.
Explicação da fórmula: essa expressão vem da integração da contribuição r^{2}dm ao longo da barra, onde r é a distância do elemento de massa ao eixo central; o fator 1/12 é o resultado dessa integração para uma barra homogênea.
Agora calculamos numericamente:
L^{2}=(2{,}08)^{2}=4{,}3264\\ \mathrm{m^{2}},
I=\frac{1}{12}\cdot117\cdot4{,}3264= \frac{117\cdot4{,}3264}{12}.
Multiplicando:
117\cdot4{,}3264=506{,}1888,
I=\frac{506{,}1888}{12}=42{,}1824\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

(a) Relação entre torque e aceleração angular: a segunda lei de Newton para rotação diz
\tau=I\alpha,
onde \tau é o torque líquido, I é o momento de inércia e \alpha é a aceleração angular. Isolando \alpha:
\alpha=\frac{\tau}{I}.
Substituindo os valores:
\alpha=\frac{1{,}950}{42{,}1824}\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Fazendo a divisão:
\alpha\approx46{,}3\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
(Manter unidades: \mathrm{N\cdot m}/(\mathrm{kg\cdot m^{2}})=\mathrm{rad/s^{2}}.)

Passo 4

(b) Queremos a velocidade angular \omega após 5{,}00 rotações. Primeiro convertemos rotações em ângulo:
\theta = 5{,}00\\ \text{rot} = 5{,}00\times2\pi=10\pi\\ \mathrm{rad}.
Usamos as equações de movimento rotacional com aceleração angular constante (análogo a MRUV):
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\theta.
Como \omega_{0}=0,
\omega=\sqrt{2\alpha\theta}=\sqrt{2\alpha\cdot10\pi}=\sqrt{20\pi\alpha}.
Substituindo \alpha\approx46{,}3\\ \mathrm{rad/s^{2}}:
\omega\approx\sqrt{20\pi\times46{,}3}\\ \mathrm{rad/s}.
Calculando numericamente:
\omega\approx53{,}9\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

(c) Trabalho realizado pelo motor durante as 5{,}00 rotações.
Conceito: quando um torque constante \tau age através de um deslocamento angular \theta, o trabalho realizado é
W=\tau\theta.
Também esse trabalho aparece como variação da energia cinética rotacional:
\Delta K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}-\tfrac{1}{2}I\omega_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
e, com \alpha=\tau/I, as duas formas são equivalentes. Usamos a forma direta:
W=\tau\theta=1{,}950\times10\pi=19{,}500\pi\\ \mathrm{J}.
Valor numérico:
W\approx61{,}264\\ \mathrm{J}.

Passo 6

(d) Potência média durante as 5{,}00 rotações.
Definição: potência média é trabalho dividido pelo tempo gasto:
P_{\rm med}=\frac{W}{t}.
Precisamos do tempo t que leva para completar \theta=10\pi com aceleração angular constante \alpha. Usamos
\theta=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}=\tfrac{1}{2}\alpha t^{2},
pois \omega_{0}=0. Isolando t:
t=\sqrt{\frac{2\theta}{\alpha}}=\sqrt{\frac{20\pi}{\alpha}}.
Substituindo \alpha\approx46{,}3:
t\approx1{,}17\\ \mathrm{s}.
Agora a potência média:
P_{\rm med}=\frac{61{,}264}{1{,}17}\\ \mathrm{W}\approx5{,}26\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
Ou seja,
P_{\rm med}\approx5{,}26\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

(e) Potência instantânea no instante em que a hélice completa as 5{,}00 rotações.
Definição: potência instantânea para torque e velocidade angular é
P=\tau\omega.
Usando \tau=1{,}950\\ \mathrm{N\cdot m} e \omega calculada em (b) \omega\approx53{,}9\\ \mathrm{rad/s}:
P=1{,}950\times53{,}9\\ \mathrm{W}\approx1{,}05\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Agora resolvemos o problema 10.38(a): momento angular orbital da Terra modelada como partícula.
Modelo e razão: se a Terra é tratada como partícula de massa M_{\rm T} em órbita circular de raio r_{\rm orb} com velocidade v_{\rm orb}, o módulo do momento angular é
L_{\rm orb}=M_{\rm T}\,r_{\rm orb}\,v_{\rm orb}
porque o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares em órbita circular, então L=mrv.
Substituindo os números padrão:
L_{\rm orb}= (5{,}97\times10^{24})\times(1{,}50\times10^{11})\times(2{,}98\times10^{4})\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Multiplicando os fatores numéricos:
5{,}97\times1{,}50\times2{,}98\approx26{,}69,
e somando os expoentes 10^{24+11+4}=10^{39}, então
L_{\rm orb}\approx2{,}67\times10^{40}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Avaliação da modelagem como partícula: comparar o raio orbital com o raio da Terra. Como r_{\rm orb}\approx1{,}50\times10^{11}\\ \mathrm{m} e R_{\rm T}\approx6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}, tem-se r_{\rm orb}\gg R_{\rm T}. Portanto é razoável tratar a Terra como partícula para calcular o momento angular orbital (a contribuição devido à distribuição interna da Terra é desprezível para o termo m r v do movimento orbital).

Passo 9

10.38(b): momento angular da Terra devido à sua rotação (esfera uniforme).
Para uma esfera sólida e homogênea, o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro é
I_{\rm T}=\frac{2}{5}M_{\rm T}R_{\rm T}^{2}.
A velocidade angular de rotação da Terra é
\omega_{\rm rot}=\frac{2\pi}{T_{\rm rot}}=\frac{2\pi}{86\,400\\ \mathrm{s}}\approx7{,}27\times10^{-5}\\ \mathrm{rad/s}.
Então o momento angular de rotação é
L_{\rm rot}=I_{\rm T}\,\omega_{\rm rot}=\frac{2}{5}M_{\rm T}R_{\rm T}^{2}\,\omega_{\rm rot}.
Substituindo valores:
I_{\rm T}=\frac{2}{5}\times(5{,}97\times10^{24})\times(6{,}37\times10^{6})^{2}.
Calculando R_{\rm T}^{2}=(6{,}37\times10^{6})^{2}\approx4{,}0577\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}. Então
I_{\rm T}\approx0{,}4\times5{,}97\times4{,}0577\times10^{37}\approx9{,}70\times10^{37}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Agora
L_{\rm rot}=I_{\rm T}\omega_{\rm rot}\approx(9{,}70\times10^{37})\times(7{,}27\times10^{-5})\approx7{,}06\times10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
Observação comparativa: L_{\rm orb}\approx2{,}67\times10^{40} e L_{\rm rot}\approx7{,}06\times10^{33}. Logo o momento angular orbital domina, sendo muitos ordens de magnitude maior que o momento angular de rotação da Terra.

Resposta

10.34 (a) \alpha\approx46{,}3\\ \mathrm{rad/s^{2}}
10.34 (b) \omega\approx53{,}9\\ \mathrm{rad/s}
10.34 (c) W=\tau\theta=19{,}500\pi\\ \mathrm{J}\approx61{,}264\\ \mathrm{J}
10.34 (d) P_{\rm med}\approx5{,}26\times10^{4}\\ \mathrm{W}
10.34 (e) P_{\rm inst}=\tau\omega\approx1{,}05\times10^{5}\\ \mathrm{W}
10.38 (a) L_{\rm orb}\approx2{,}67\times10^{40}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s} (sim, é razoável modelar a Terra como partícula para o momento angular orbital)
10.38 (b) L_{\rm rot}\approx7{,}06\times10^{33}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}

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