10.34 •• A hélice propulsora de um avião possui comprimento de
(de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg . Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de
na hélice, que começa a se mover a partir do repouso. (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina e veja a Tabela 9.2. (b) Qual é a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5,00 rot? (c) Qual é o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rot iniciais? (d) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5,00 rot iniciais? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5,00 rot?
10.38 •• (a) Calcule o módulo do momento angular da Terra descrevendo uma órbita em volta do Sol. É razoável modelá-la como uma partícula? (b) Calcule o módulo do momento angular da Terra em função de sua rotação em torno de um eixo que passa pelos polos norte e sul, modelando-a como uma esfera uniforme. Consulte o Apêndice E e os dados de astronomia no Apêndice F.
10.38 •• (a) Calcule o módulo do momento angular da Terra descrevendo uma órbita em volta do Sol. É razoável modelá-la como uma partícula? (b) Calcule o módulo do momento angular da Terra em função de sua rotação em torno de um eixo que passa pelos polos norte e sul, modelando-a como uma esfera uniforme. Consulte o Apêndice E e os dados de astronomia no Apêndice F.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada parte. (Peguei os números diretamente do enunciado.)
Para o problema 10.34 (hélice):
- Comprimento da hélice (de ponta a ponta):
. - Massa da hélice:
. - Torque aplicado constante:
. - A hélice parte do repouso (
). - Perguntas:
(a) Qual a aceleração angular?
(b) Qual a velocidade angularquando a hélice completa rotações?
(c) Qual o trabalho realizado pelo motor nasrotações iniciais?
(d) Qual a potência média fornecida durante essasrotações?
(e) Qual a potência instantânea no instante em que a hélice completa essasrotações?
Para o problema 10.38 (Terra):
- Valores tomados como padrão (Apêndice F):
- Massa da Terra:
. - Raio médio da órbita (1 UA):
. - Velocidade orbital média da Terra:
. - Raio da Terra:
. - Período de rotação da Terra:
.
- Massa da Terra:
- Perguntas:
(a) Calcular o módulo do momento angular da Terra descrevendo a órbita em torno do Sol (modelando a Terra como partícula).
(b) Calcular o módulo do momento angular da Terra em função da sua rotação em torno do eixo (modelando a Terra como esfera uniforme).
Passo 2
Primeiro determinamos o momento de inércia da hélice modelada como uma barra fina de comprimento
e massa
, girando em torno do seu centro (eixo perpendicular ao comprimento no centro). A fórmula conhecida para uma barra fina de comprimento
e massa
girando pelo centro é
Explicação da fórmula: essa expressão vem da integração da contribuição
ao longo da barra, onde
é a distância do elemento de massa ao eixo central; o fator
é o resultado dessa integração para uma barra homogênea.
Agora calculamos numericamente:
Multiplicando:
Passo 3
(a) Relação entre torque e aceleração angular: a segunda lei de Newton para rotação diz
onde
é o torque líquido,
é o momento de inércia e
é a aceleração angular. Isolando
:
Substituindo os valores:
Fazendo a divisão:
(Manter unidades:
.)
Passo 4
(b) Queremos a velocidade angular
após
rotações. Primeiro convertemos rotações em ângulo:
Usamos as equações de movimento rotacional com aceleração angular constante (análogo a MRUV):
Como
,
Substituindo
:
Calculando numericamente:
Passo 5
(c) Trabalho realizado pelo motor durante as
rotações.
Conceito: quando um torque constante
age através de um deslocamento angular
, o trabalho realizado é
Também esse trabalho aparece como variação da energia cinética rotacional:
e, com
, as duas formas são equivalentes. Usamos a forma direta:
Valor numérico:
Passo 6
(d) Potência média durante as
rotações.
Definição: potência média é trabalho dividido pelo tempo gasto:
Precisamos do tempo
que leva para completar
com aceleração angular constante
. Usamos
pois
. Isolando
:
Substituindo
:
Agora a potência média:
Ou seja,
Passo 7
(e) Potência instantânea no instante em que a hélice completa as
rotações.
Definição: potência instantânea para torque e velocidade angular é
Usando
e
calculada em (b)
:
Passo 8
Agora resolvemos o problema 10.38(a): momento angular orbital da Terra modelada como partícula.
Modelo e razão: se a Terra é tratada como partícula de massa
em órbita circular de raio
com velocidade
, o módulo do momento angular é
porque o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares em órbita circular, então
.
Substituindo os números padrão:
Multiplicando os fatores numéricos:
e somando os expoentes
, então
Avaliação da modelagem como partícula: comparar o raio orbital com o raio da Terra. Como
e
, tem-se
. Portanto é razoável tratar a Terra como partícula para calcular o momento angular orbital (a contribuição devido à distribuição interna da Terra é desprezível para o termo
do movimento orbital).
Passo 9
10.38(b): momento angular da Terra devido à sua rotação (esfera uniforme).
Para uma esfera sólida e homogênea, o momento de inércia em torno de um eixo que passa pelo centro é
A velocidade angular de rotação da Terra é
Então o momento angular de rotação é
Substituindo valores:
Calculando
. Então
Agora
Observação comparativa:
e
. Logo o momento angular orbital domina, sendo muitos ordens de magnitude maior que o momento angular de rotação da Terra.
Resposta
10.34 (a)
10.34 (b)
10.34 (c)
10.34 (d)
10.34 (e)
10.34 (b)
10.34 (c)
10.34 (d)
10.34 (e)
10.38 (a)
(sim, é razoável modelar a Terra como partícula para o momento angular orbital)
10.38 (b)
10.38 (b)