Uma partícula de carga q_{0}=+7,5 \mu \mathrm{C} é liberada a partir do repouso no ponto x=50 \mathrm{~cm}. A particula começa a se mover devido à presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem. Qual é a energia cinética da partícula após se deslocar 40 cm
se Q=+30 \mu C ? (Se afastando 40 cm - Cargas de mesmo sinal)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a energia cinética da partícula após ela se deslocar 40\\ \text{cm} a partir de x=50\\ \text{cm}, ou seja, ao chegar em x=90\\ \text{cm}.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
  • Carga da partícula: q_{0}=+7{,}5\\ \mu\text{C}.
  • Carga fixa na origem: Q=+30\\ \mu\text{C}.
  • Posição inicial: x_{\text{inicial}}=50\\ \text{cm}.
  • Deslocamento: 40\\ \text{cm} no sentido de se afastar da carga fixa (mesmo sinal das cargas).
  • A partícula é liberada a partir do repouso (energia cinética inicial K_{\text{inicial}}=0).

Passo 2

Ideia física e fórmulas úteis (explicação didática)
  • Energia elétrica entre duas cargas pontuais: a energia potencial elétrica proporcional a 1/r. A fórmula é
U(r)=k\,\frac{Q\,q_{0}}{r},
onde:
  • U(r) é a energia potencial elétrica quando as cargas estão separadas por distância r,
  • k é a constante eletrostática, k\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \text{N}\,\text{m}^{2}\!\!/\text{C}^{2},
  • Q e q_{0} são as cargas (em coulombs),
  • r é a distância entre elas (em metros).
  • Conservação da energia mecânica (camada prática para prova): como não há outras forças dissipativas citadas, a variação da energia potencial elétrica vira variação da energia cinética. Como K_{\text{inicial}}=0, a energia cinética final é
K_{\text{final}} = U_{\text{inicial}} - U_{\text{final}}.
Explicando: se a partícula se afasta e as cargas têm mesmo sinal, U diminui com r, então U_{\text{inicial}}>U_{\text{final}} e K_{\text{final}}>0.

Passo 3

Converter unidades (passo a passo, como na prova)
  • Converter microcoulombs para coulombs:
q_{0}=7{,}5\\ \mu\text{C}=7{,}5\times10^{-6}\\ \text{C}, \qquad Q=30\\ \mu\text{C}=30\times10^{-6}\\ \text{C}.
  • Converter centímetros para metros:
r_{\text{inicial}}=50\\ \text{cm}=0{,}50\\ \text{m}, \qquad r_{\text{final}}=50\\ \text{cm}+40\\ \text{cm}=90\\ \text{cm}=0{,}90\\ \text{m}.

Passo 4

Escrever a expressão para K_{\text{final}} usando as fórmulas
K_{\text{final}} = k\,Q\,q_{0}\left(\frac{1}{r_{\text{inicial}}}-\frac{1}{r_{\text{final}}}\right).
Aqui k\,Q\,q_{0} é um fator comum; o parêntese dá a diferença entre os inversos das distâncias, que é positivo quando r_{\text{final}}>r_{\text{inicial}}.

Passo 5

Calcular o produto k\,Q\,q_{0} passo a passo
  • Primeiro Q\,q_{0}:
Q\,q_{0}=(30\times10^{-6})(7{,}5\times10^{-6})=225\times10^{-12}=2{,}25\times10^{-10}\\ \text{C}^2.
  • Agora multiplicar por k:
k\,Q\,q_{0}=(8{,}99\times10^{9})\cdot(2{,}25\times10^{-10})=2{,}02275\\ \text{J}\cdot\text{m}.
(As unidades ficam \text{N}\,\text{m}^{2}/\text{C}^{2}\times\text{C}^{2}=\text{N}\,\text{m}=\text{J}.)

Passo 6

Calcular a diferença dos recíprocos das distâncias e a energia cinética
  • Calcular \dfrac{1}{r_{\text{inicial}}}-\dfrac{1}{r_{\text{final}}}:
\frac{1}{0{,}50}-\frac{1}{0{,}90}=2-\frac{10}{9}=2-\;1{,}111\overline{1}=0{,}888\overline{8}=\frac{8}{9}.
  • Multiplicar pelo fator obtido:
K_{\text{final}}=2{,}02275\cdot\frac{8}{9}=2{,}02275\cdot0{,}888\overline{8}\approx1{,}798\\ \text{J}.

Passo 7

Arredondamento e verificação rápida (dica para prova)
  • Com três algarismos significativos, K_{\text{final}}\approx1{,}80\\ \text{J}.
  • Checagem qualitativa: energia positiva (esperado, porque a partícula ganhou velocidade ao escapar da repulsão), ordem de grandeza razoável para microcoulombs e distâncias de décimos de metro.

Resposta

1,80\\ \text{J}

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