Calcule o potencial e campo elétrico das seguintes distribuições de cargas:
Esfera maciça homogênea de raio R.

Passo 1

O que o problema pede e o que vou assumir (peguei estas hipóteses do enunciado genérico).
  • Pedem o potencial elétrico V(r) e o campo elétrico \mathbf{E}(r) para uma esfera maciça homogênea de raio R.
  • Vou assumir que a esfera possui carga total Q distribuída uniformemente no volume. (Isso é o modo usual de tratar “esfera maciça homogênea”.)
  • Defino a densidade volumétrica de carga uniforme
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
  • A resposta deve ser dada para duas regiões: interior ( 0\le r<R) e exterior ( r\ge R). Vou tomar a referência de potencial V(\infty)=0.
  • O que vou entregar no final: as fórmulas de \mathbf{E}(r) (direção e módulo) e de V(r) em cada região, mostrando como obter cada uma passo a passo.

Passo 2

Simetria e a lei de Gauss — por que o campo é radial e só depende de r.
  • A distribuição é esfericamente simétrica (uniforme em todo o volume da esfera). Em problemas assim o campo elétrico em qualquer ponto só pode apontar radialmente (para fora ou para dentro) e depender apenas da distância ao centro, r.
  • A lei integral de Gauss diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\rm enc} é a carga contida dentro da superfície fechada S.
  • Para uma superfície gaussiana escolhida como esfera de raio r centrada no mesmo centro da distribuição, por simetria \mathbf{E} tem módulo E(r) e é perpendicular à superfície em todos os pontos, então
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • Portanto, para aplicar Gauss só precisamos calcular Q_{\rm enc} dentro do raio r.

Passo 3

Campo elétrico fora da esfera ( r\ge R) usando Gauss.
  • Para r\ge R a superfície gaussiana engloba toda a carga da esfera, logo
Q_{\rm enc}=Q.
  • Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  • Portanto o módulo do campo é
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\qquad (r\ge R).
  • A direção é radial para fora se Q>0 (vetorialmente \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}), ou radial para dentro se Q<0. Em notação vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}\;\hat{r}\qquad (r\ge R).
  • Observação física: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga puntiforme Q situada no centro.

Passo 4

Campo elétrico dentro da esfera ( 0\le r<R) usando Gauss.
  • Para r<R a carga encerrada é a carga do volume de raio r:
Q_{\rm enc}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Lembrando que \rho=\dfrac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}, substituo:
Q_{\rm enc}=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
  • Pela lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_{0}}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}\frac{r^{3}}{R^{3}}.
  • Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r\qquad (0\le r< R).
  • Em notação alternativa usando \rho, usando 1/(4\pi\varepsilon_{0})\cdot 3Q/(R^{3}) = \rho/(3\varepsilon_{0}), pode-se escrever
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\,r\qquad (0\le r<R).
  • Observação física: dentro, o campo cresce linearmente com r (como numa mola: zero no centro e máximo na superfície).

Passo 5

Relação entre campo e potencial e escolha da referência.
  • A relação entre campo e potencial escalar é
\mathbf{E}=-\nabla V,
e, em simetria esférica, isso reduz a relação unidimensional
E(r)=-\frac{dV}{dr}
quando tomamos E(r) como módulo e V(r) função radial.
  • Vou escolher V(\infty)=0 como referência padrão. Assim podemos obter V(r) integrando E radialmente.

Passo 6

Potencial para r\ge R (região externa) — integração direta.
  • Para r\ge R temos E(r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}.
  • Como E(r)=-dV/dr, integro de r até \infty com V(\infty)=0:
V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r} E(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
  • Calculando a integral:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r}\qquad (r\ge R).
  • Observação: novamente é idêntico ao potencial de uma carga pontual Q no centro.

Passo 7

Potencial para 0\le r<R (região interna) — integração usando condição de continuidade em r=R.
  • Primeiro obtenho V(R) pela fórmula externa:
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R}.
  • Para r<R integro E de r até R:
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r} E(r')\,dr'.
  • Substituo E(r')=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{3}}\,r' (obtido no passo 4) e integro:
V(r)-V(R)=-\int_{R}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\,r'\,dr'.
  • Calculando a integral (preste atenção no sinal, aqui r< R então os limites trocam o sinal corretamente):
V(r)-V(R)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{R^{3}}\cdot\frac{r^{2}-R^{2}}{2}.
  • Substituo V(R)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R} e reorganizo:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{Q}{R}-\frac{Q}{2R^{3}}(r^{2}-R^{2})\right).
  • Simplificando:
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{3Q}{2R}-\frac{Q r^{2}}{2R^{3}}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{2R^{3}}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr)\qquad (0\le r< R).
  • Verificação rápida: para r\to R essa expressão dá V(R)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R}, portanto V(r) é contínuo em r=R. Em r=0 obtemos o valor máximo
V(0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{3Q}{2R}.

Passo 8

Resumo físico e formas alternativas (em termos de \rho\) e constante \(k\)). - É útil introduzir \(k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\) para escrever de forma compacta. - Campo elétrico: \[\mathbf{E}(r)= \begin{cases} \dfrac{kQ}{R^{3}}\,r\,\hat{r}, & 0\le r< R,\\[6pt] \dfrac{kQ}{r^{2}}\,\hat{r}, & r\ge R. \end{cases}
  • Potencial elétrico (com V(\infty)=0\]): \[V(r)= \begin{cases} k\displaystyle\frac{Q}{2R^{3}}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr), & 0\le r< R,\\[8pt] k\displaystyle\frac{Q}{r}, & r\ge R. \end{cases}\] - Em termos de \(\rho (para quem preferir):
E(r)=\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\,r\quad( r<R ),\qquad E(r)=\frac{\rho \tfrac{4}{3}\pi R^{3}}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}\quad( r\ge R ).
  • Interpretação: dentro a carga efetiva cresce como r^{3} e cancela parcialmente r^{2} da área da superfície gaussiana, por isso E\propto r. Fora, toda carga está dentro e o comportamento é o de uma carga pontual.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{R^{3}}\,r\,\hat{r}, & 0\le r< R,\\[8pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}\,\hat{r}, & r\ge R, \end{cases}
\displaystyle V(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{2R^{3}}\bigl(3R^{2}-r^{2}\bigr), & 0\le r< R,\\[8pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{Q}{r}, & r\ge R. \end{cases}]

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