Calcule o potencial e campo elétrico das seguintes distribuições de cargas:
Esfera maciça homogênea de raio
.
Esfera maciça homogênea de raio
Passo 1
O que o problema pede e o que vou assumir (peguei estas hipóteses do enunciado genérico).
- Pedem o potencial elétrico
e o campo elétrico para uma esfera maciça homogênea de raio . - Vou assumir que a esfera possui carga total
distribuída uniformemente no volume. (Isso é o modo usual de tratar “esfera maciça homogênea”.) - Defino a densidade volumétrica de carga uniforme
- A resposta deve ser dada para duas regiões: interior (
) e exterior ( ). Vou tomar a referência de potencial . - O que vou entregar no final: as fórmulas de
(direção e módulo) e de em cada região, mostrando como obter cada uma passo a passo.
Passo 2
Simetria e a lei de Gauss — por que o campo é radial e só depende de
.
- A distribuição é esfericamente simétrica (uniforme em todo o volume da esfera). Em problemas assim o campo elétrico em qualquer ponto só pode apontar radialmente (para fora ou para dentro) e depender apenas da distância ao centro,
. - A lei integral de Gauss diz:
onde
é a carga contida dentro da superfície fechada
.
- Para uma superfície gaussiana escolhida como esfera de raio
centrada no mesmo centro da distribuição, por simetria tem módulo e é perpendicular à superfície em todos os pontos, então
- Portanto, para aplicar Gauss só precisamos calcular
dentro do raio .
Passo 3
Campo elétrico fora da esfera (
) usando Gauss.
- Para
a superfície gaussiana engloba toda a carga da esfera, logo
- Aplicando Gauss:
- Portanto o módulo do campo é
- A direção é radial para fora se
(vetorialmente ), ou radial para dentro se . Em notação vetorial:
- Observação física: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga puntiforme
situada no centro.
Passo 4
Campo elétrico dentro da esfera (
) usando Gauss.
- Para
a carga encerrada é a carga do volume de raio :
- Lembrando que
, substituo:
- Pela lei de Gauss:
- Isolando
:
- Em notação alternativa usando
, usando , pode-se escrever
- Observação física: dentro, o campo cresce linearmente com
(como numa mola: zero no centro e máximo na superfície).
Passo 5
Relação entre campo e potencial e escolha da referência.
- A relação entre campo e potencial escalar é
e, em simetria esférica, isso reduz a relação unidimensional
quando tomamos
como módulo e
função radial.
- Vou escolher
como referência padrão. Assim podemos obter integrando radialmente.
Passo 6
Potencial para
(região externa) — integração direta.
- Para
temos . - Como
, integro de até com :
- Calculando a integral:
- Observação: novamente é idêntico ao potencial de uma carga pontual
no centro.
Passo 7
Potencial para
(região interna) — integração usando condição de continuidade em
.
- Primeiro obtenho
pela fórmula externa:
- Para
integro de até :
- Substituo
(obtido no passo 4) e integro:
- Calculando a integral (preste atenção no sinal, aqui
então os limites trocam o sinal corretamente):
- Substituo
e reorganizo:
- Simplificando:
- Verificação rápida: para
essa expressão dá , portanto é contínuo em . Em obtemos o valor máximo
Passo 8
Resumo físico e formas alternativas (em termos de
- Potencial elétrico (com (para quem preferir):
- Interpretação: dentro a carga efetiva cresce como
e cancela parcialmente da área da superfície gaussiana, por isso . Fora, toda carga está dentro e o comportamento é o de uma carga pontual.]